КП: Параметрические колебания — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 46: Строка 46:
 
Примечание: менять частоту колебаний лучше в центральном положении.
 
Примечание: менять частоту колебаний лучше в центральном положении.
  
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Filimonov/dl_example_Swing.html |width=830 |height=630 |border=0 }}
+
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Sizova/dl_example_Swing.html |width=830 |height=630 |border=0 }}
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
 
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">

Версия 16:48, 25 июня 2016

Качели

Курсовой проект по Теории колебаний

Исполнитель: Сизова Екатерина

Группа: 09 (33604)

Семестр: весна 2016

Аннотация проекта

Колебания — это повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. По характеру взаимодействия с окружающей средой колебания делятся на вынужденные, свободные, автоколебания, случайные и параметрические, которым и посвящена данная работа.

Параметрические колебания - колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия. Одним из классических примеров параметрических колебаний является система, состоящая из качелей и человека, раскачивающего их.

Формулировка задачи

Описать математически движение качелей и смоделировать их движение.


Решение

Качели

Существует два способа раскачивания качелей: качели может раскачивать человек, находящийся вне качелей, а также человек, который сидит или стоит на них. В данной задаче будет рассматриваться второй случай - человек, стоящий на качелях, периодически, в нужные моменты приседает и встает. При этом периодически изменяются параметры самой колебательной системы, поэтому такие колебания можно назвать параметрическими. Простейшим уравнением, описывающим такие колебания, является уравнение гармонических колебаний, где [math] \omega ^2[/math]. является периодической функцией времени [math] a = -\omega^2(t)x[/math].

Зависимость параметра от времени может быть, например, представлена в виде [math] \omega ^2 = \omega_{0} ^2(1+\varepsilon cos \omega t)[/math], где постоянная [math] \omega_{0} ^2[/math] - собственная частота колебаний при неизменных средних значениях параметров системы(например, частота свободных колебаний качелей при неподвижно стоящем на них человеке), а второе слагаемое описывает периодическое изменение параметров системы.

Будем считать человека материальной точкой, расстояние от которой до оси вращения может изменяться в некоторых небольших пределах "сознательно", то есть в нужные моменты времени. Для того, чтобы максимально увеличить механическую энергию колебаний, человек должен вставать, когда для этого требуется приложить максимальное усилие, так как при этом будет совершена максимальная работа. Очевидно, это условие достигается, когда качели проходят нижнюю точку.

Итак, пусть начальный угол отклонения качелей равен [math] \varphi_{0} [/math] и при этом максимальном отклонении центр масс находится на максимальной удалении [math] l [/math] от точки подвеса [math] O [/math].

Когда качели опустятся под действием силы тяжести в нижнее положение, рассматриваемая материальная точка приобретет скорость [math] v_{0} [/math], которую можно найти на основании закона сохранения энергии [math] \frac{mv_{0}^2}{2} = mgl(1 - cos \varphi_{0})[/math], из которого следует [math] v_{0} = sqrt\ {2gl (1 - cos \varphi_{0}) } [/math].

Далее пусть в момент прохождения нижней точки центр масс очень быстро поднимается на малую высоту [math] h [/math], при этом его скорость возрастает до некоторой величины [math] v_{1} [/math]. На основании закона сохранения импульса [math] mv_{0}l = mv_{1}(l-h) [/math]. Из этого уравнения находим [math] v_{1} = v_{0} \frac{l}{l-h} \approx v_{0} (1+\frac{h}{l})[/math], учитывая, что высота подъема [math] h [/math] значительно меньше длины качелей [math] l [/math].

Теперь с помощью закона сохранения энергии [math] mg(l-h)(1-cos \varphi_{1}) = \frac{mv_{1} ^2}{2} = \frac{mv_{0} ^2}{2} (\frac{l}{l-h}) ^2 = mgl(1-cos \varphi_{0}) (\frac{l}{l-h}) ^2 [/math] можно найти максимальный угол отклонения качелей [math] \varphi_{1} [/math] в противоположном направлении, который удовлетворяет условию [math] (1-cos \varphi_{1}) = (1-cos \varphi_{0})(\frac{l}{l-h}) ^3 [/math].

Оценим изменение высоты подъема за этот же промежуток времени

[math] \bigtriangleup z = l(1-cos \varphi_{1})-(1-cos \varphi_{0}) = l((\frac{l}{l-h})^3 - 1) \approx 3l \frac{h}{l} [/math].

Визуализация задачи

Примечание: менять частоту колебаний лучше в центральном положении.

Текст программы на языке JavaScript:

Файл "dl_example_Swing.js"

  1 function main_dl_example_Swing() {
  2  
  3 	number_input.oninput = function() {
  4         slider_input.value = number_input.value;
  5         mult2();
  6     };
  7     slider_input.oninput = function() {
  8         number_input.value = slider_input.value;
  9         mult2();
 10     };
 11  
 12     function mult2() {
 13         span_result.innerHTML =  Math.PI / number_input.value;
 14     }
 15  
 16     var ctx = canvas_Swing.getContext("2d");
 17     var width = canvas_Swing.width;
 18     var height = canvas_Swing.height;
 19  
 20 	var string_s_x = 400;
 21 	var string_s_y = 10;
 22 	var string_e_x = 400;
 23 	var string_e_y = 300;
 24 	var phi =  Math.PI / 2;
 25 	//var n = 6;
 26 	var phi_max = Math.PI / number_input.value;
 27 	var h = 20;
 28 	var m = 10;
 29 	var string_length = 290;
 30 	var direction = 1;
 31 	var speed = 1;
 32 	
 33 	var board_s_x = string_s_x - 50;
 34 	var board_s_y = string_e_y;
 35 	var board_e_x = string_e_x + 50;
 36 	var board_e_y = string_e_y;
 37 	
 38 	var head_x = string_e_x + 15;
 39 	var head_y = string_e_y - 50;
 40 	var head_r = 10;
 41 	
 42 	var eye_left_x = head_x - 2;
 43 	var eye_left_y = head_y - 2;
 44 	var eye_right_x = head_x + 2;
 45 	var eye_right_y = head_y - 2;
 46 	
 47 	var body_s_x = head_x + 4;
 48 	var body_s_y = head_y + head_r;
 49 	var body_e_x = body_s_x + 12;
 50 	var body_e_y = body_s_y + 25;
 51 	
 52 	var legs_s_x = body_e_x;
 53 	var legs_s_y = body_e_y;
 54 	var legs_e_x = body_e_x - 20;
 55 	var legs_e_y = board_e_y + 10;
 56 	
 57 	var arms_s_x = body_e_x - 5;
 58 	var arms_s_y = body_e_y - 8;
 59 	var arms_e_x = body_e_x - 25;
 60 	var arms_e_y = body_e_y - 15;
 61  
 62     function step() {                          
 63         tick();
 64         draw();
 65     }
 66  
 67     function tick() {   
 68 		phi_max = Math.PI / number_input.value;
 69 		
 70         string_e_x = string_s_x  + string_length * Math.cos(phi);
 71 		string_e_y = string_s_y  + string_length * Math.sin(phi);
 72 		
 73 		speed = 0.017 * Math.sqrt((Math.cos(phi - Math.PI / 2) - Math.cos(phi_max + 0.01)));
 74 		phi = phi + direction * speed;
 75 		
 76 		if (phi >  Math.PI / 2 + phi_max) direction = - direction;
 77 		if (phi <  Math.PI / 2 - phi_max) direction = - direction;
 78 		
 79 		board_s_x = string_s_x - 50;
 80 		board_s_y = string_e_y;
 81 		board_e_x = string_e_x + 50;
 82 		board_e_y = string_e_y;
 83 	
 84 		head_x = string_e_x + 15;
 85 		head_y = string_e_y - 50;
 86 		head_r = 10;
 87 		
 88 		eye_left_x = head_x - 2;
 89 		eye_left_y = head_y - 2;
 90 		eye_right_x = head_x + 2;
 91 		eye_right_y = head_y - 2;
 92 		
 93 		body_s_x = head_x + 4;
 94 		body_s_y = head_y + head_r;
 95 		body_e_x = body_s_x + 12;
 96 		body_e_y = body_s_y + 25;
 97 	
 98 		legs_s_x = body_e_x;
 99 		legs_s_y = body_e_y;
100 		legs_e_x = body_e_x - 20;
101 		legs_e_y = board_e_y + 10;
102 	
103 		arms_s_x = body_e_x - 5;
104 		arms_s_y = body_e_y - 8;
105 		arms_e_x = body_e_x - 25;
106 		arms_e_y = body_e_y - 15;
107 		
108     }
109  
110     function draw() {                           
111         ctx.clearRect(0, 0, width, height);     
112         ctx.beginPath();
113        
114 		ctx.lineWidth="1";
115 		ctx.strokeStyle="#080101";
116 		
117 		ctx.moveTo(string_s_x, string_s_y);                             
118 		ctx.lineTo(string_e_x, string_e_y);                           
119 		ctx.stroke();  
120 		
121 		ctx.lineWidth="2";
122 		ctx.strokeStyle="#DED5D5";
123 		ctx.beginPath();
124 		ctx.arc(head_x, head_y, head_r, 0, 2 * Math.PI);
125 		ctx.stroke();
126 		
127 		ctx.fillStyle="#080101";
128 		ctx.beginPath();
129 		ctx.arc(eye_left_x, eye_left_y, 1, 0, 2 * Math.PI);
130 		ctx.arc(eye_right_x, eye_right_y, 1, 0, 2 * Math.PI);
131 		ctx.fill();
132 		
133 		ctx.beginPath();
134 		ctx.strokeStyle="#DED5D5";
135 		ctx.moveTo(body_s_x, body_s_y);                             
136 		ctx.lineTo(body_e_x, body_e_y);                            
137 		ctx.lineWidth="6";
138 		ctx.stroke();
139 				
140 		ctx.beginPath();
141 		ctx.strokeStyle="#DED5D5";
142 		ctx.moveTo(legs_s_x, legs_s_y);                             
143 		ctx.lineTo(legs_e_x, legs_e_y);                           
144 		ctx.lineWidth="6";
145 		ctx.stroke();
146 		
147 		ctx.beginPath();
148 		ctx.strokeStyle="#DED5D5";
149 		ctx.moveTo(arms_s_x, arms_s_y);                             
150 		ctx.lineTo(arms_e_x, arms_e_y);                           
151 		ctx.lineWidth="6";
152 		ctx.stroke();
153 		
154 		ctx.fillStyle="#F31C1C";
155 		ctx.beginPath();
156 		ctx.arc(string_e_x, string_e_y, head_r, 0, 2 * Math.PI);
157 		ctx.fill();
158 		
159 		ctx.lineWidth="2";
160 		ctx.strokeStyle="#080101";
161 		ctx.beginPath();
162 		ctx.arc(string_e_x, string_e_y, head_r, 0, 2 * Math.PI);
163 		ctx.stroke();
164     }
165  
166     setInterval(step, 1000 / 60);               
167    
168 }

Файл "dl_example_Swing.html" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> <!DOCTYPE html> <html> <head>

   <title>SWING</title>
   <script src="dl_example_Swing.js">

function sizePic() { number_input = document.getElementById("number_input").value;

} </script> </head> <body onload="main_dl_example_Swing();">

   <canvas id="canvas_Swing" width="800" height="450" style="border: 1px solid #000000"></canvas>

<input type="range" id="slider_input" min=3 max=9 value=3 step=0.01 style="width: 150px;">

Частота: PI : <input type="number" id="number_input" oninput ="n" min=3 max=9 value=3 step=0.01 style="width: 50px;"> = 1.0471975511965976

</body> </html>

Обсуждение результатов и выводы

== Ссылки по теме ==