КП: Диск Эйлера

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Диск Эйлера

---

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Соколов Алексей

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Диск Эйлера – это твёрдое цилиндрическое тело, имеющее единственную точку контакта с горизонтальной поверхностью, по которой он одновременно и катится, и вращается. Этой простой механической системе присущи две любопытные особенности — быстрое возрастание звуковой частоты в процессе контакта диска и поверхности на финальном этапе движения, а также последующая внезапная остановка движения. Эти эффекты может наблюдать каждый, раскрутив на столе обыкновенную монету: «потеряв равновесие», монета окажется лежащей на столе плашмя, при этом финальная стадия ее движения, когда ее плоскость почти горизонтальна, сопровождается характерным «дрожанием». Однако физическое объяснение этого своеобразного поведения оказалось сложной задачей, решение которой еще требует дальнейших экспериментальных и теоретических исследований.

Постановка задачи

Рассмотрим стационарное движение твердого диска с одной точкой касания без диссипаций. Для описания тела будем использовать единичный вектор нормали [math] \b{n} [/math] и вектор [math] \b{a} [/math] , находящегося в плоскости диска с длиной, равной радиусу диска.

Общие сведения по теме

Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта, в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы вязкого сопротивления воздуха [2]. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера. Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению дис- коподобных тел, свидетельствующие не в пользу гипотезы о вязком трении. В ответ на работу Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие скольжения при контакте диска и поверхности [4]. Критика выводов [2] и краткое обсуждение возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины [3]. Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения дис- ка [6, 7, 9–13]. Были численно и аналитически исследованы модели системы с различными огра- ничениями, проведен анализ полученных экспериментальных данных. Эти исследования в ос- новном указывают на то, что основными диссипативными силами, вызывающими вибрацию и остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли [10], что резкая остановка диска происходит в ре- зультате потери контакта между диском и поверхностью в процессе вибраций при малом угле наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую мо- дель для контактирующих тел.)

Решение

Запишем кинетический момент сиcтемы:
[math] \dot{\b{\b{K}}} = \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w} \right) } = \b{M} [/math]
[math] \dot{\b{\b{K}}} = \Theta_{12} \b{n} \times \ddot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } [/math]
Положим
[math] \eta = \b{k} \cdot \b{n} = \cos( O) [/math]
[math] \epsilon = \b{k} \times \b{n} = \sin( O) [/math]
Имеем далее
[math]\left\{ \begin{array}{lcl} \b{a} \perp \b{k} \times \b{n} \\ \b{a} \perp \b{n} \\ \end{array} \right. [/math]

Из этого следует:
[math] \b{a} \parallel \left[ \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} \right ] [/math]
Имеем
[math] \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} ) = \b{k} ( \b{n} \cdot \b{n}) - \b{n} (\b{n} \cdot \b{k}) = \b{k} - \eta \b{n} [/math]
Таким образом можем представить вектор [math] \b{a} [/math] следующим образом:
[math] \b{a} = \lambda( \b{k} - \eta \b{n}) [/math]
Имеем далее:
[math] a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) = \lambda^2 \epsilon [/math]
Таким образом
[math] \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } [/math]
Недтрудно понять что вектор [math] \b{a} [/math] в таком случае записывается в следующем виде:
[math] \b{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \b{k} - \eta \b{n}) [/math]
Имеем далее:
[math] \frac{ \b{a} } {a} = \frac{ \b{k} - \eta \b{n} } { \left| \b{k} - \eta \b{n} \right| } [/math]
Получаем таким образом:
[math] \b{a} = \frac{a}{\epsilon} (\b{k} - \eta \b{n}) [/math]
Теперь запишем соотношения для сил и моментов:
[math] m \ddot{\b{r}} = m \b{g} + \b{N} = (N - mg) \b{k} [/math]
[math] \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w} \right) } = \b{a} \times \b{N} [/math]
[math] \b{N} = N \b{k} [/math]
Таким образом имеем:
[math] \b{a} \times \b{N} = \frac{a \eta}{ e} N \b{k} \times \b{n} [/math]
В результате получаем систему, описывающую движение тела:
[math]\left\{ \begin{array}{lcl} \Theta_{12} \b{n} \times \dot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } + a \frac{\eta}{\epsilon} N \b{n} \times \b{k} = 0 \\ m \ddot{z} = N - mg \\ z = - a \epsilon \\ \end{array} \right. [/math]

Обсуждение результатов и выводы

В результате работы найден простой метод описания данной динамической системы. Получены уравнения, описывающие движение диска.

Ссылки по теме

• Динамика твердого тела: примеры (диск Эйлера)

См. также

• Справочная информация
• Курсовые проекты 2012
• Курсовые проекты 2013