КП: Динамика несферических гравитирующих тел — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Постановка задачи)
Строка 19: Строка 19:
 
Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы.  
 
Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы.  
  
−
<math>\varphi</math> - это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.
+
<math>\varphi</math> — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.
  
−
<math>M</math> - масса неподвижной частицы.
+
<math>M</math> — масса неподвижной частицы.
  
−
<math>m_{1} + m_{2}</math> - масса подвижной частицы.
+
<math>m_{1} + m_{2}</math> — масса подвижной частицы.
  
 
== Общие сведения по теме ==
 
== Общие сведения по теме ==
−
На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаеются вокруг неподвижной точки.
+
На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 
Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>.  
 
Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>.  
  
−
Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math>, <math>F_y = \frac{C}{r^3}</math>.  
+
Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math> + остальные члены ряда, <math>F_y = \frac{C}{r^3}</math>.  
  
 
Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.
 
Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.
Строка 39: Строка 39:
 
<math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>
 
<math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>
  
−
<math>\vec{e}_\theta = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>
+
<math>\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}</math>
  
 
А тогда сила примет вид:
 
А тогда сила примет вид:
Строка 47: Строка 47:
 
Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>.  
 
Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>.  
  
−
Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех тех и угол поворота подвижной частицы.
+
Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.
  
−
Запишем <math>J</math> - момент инерции:
+
Запишем <math>J</math> — момент инерции:
  
 
<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.   
 
<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.   
Строка 66: Строка 66:
 
<math>\begin{cases}
 
<math>\begin{cases}
  
−
(m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\
+
(m_{1} + m_{2})\ddot{r} = F_r + F_\theta\\
−
 
 
−
(m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta \\
 
 
          
 
          
 
J\ddot{\theta} = M \\
 
J\ddot{\theta} = M \\
Строка 74: Строка 72:
 
            
 
            
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
−
 
+
В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На следующем этапе предстоит аналитически решить полученную систему.
  
 
== Ссылки по теме ==  
 
== Ссылки по теме ==  

Версия 23:08, 30 мая 2013

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Динамика несферических гравитирующих тел


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Прокопенко Анастасия

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.

Постановка задачи

787.png

Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор [math]\vec{r}[/math] в центр масс второй частицы.

[math]\varphi[/math] — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.

[math]M[/math] — масса неподвижной частицы.

[math]m_{1} + m_{2}[/math] — масса подвижной частицы.

Общие сведения по теме

На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.

Решение

Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: [math]\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}[/math].

Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора [math]\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}[/math], где [math]F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}[/math] + остальные члены ряда, [math]F_y = \frac{C}{r^3}[/math].

Величины [math]A,B,C[/math] включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:

[math]\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}[/math]

А тогда сила примет вид:

[math]\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta[/math]

Момент такой системы: [math]\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}[/math].

Величина [math]D[/math] также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Запишем [math]J[/math] — момент инерции:

[math]J = 2(m_{1} + m_{2})R^2[/math], где [math]R[/math] характеризует положение центра масс подвижной частицы.

Таким образом, можно записать систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел в данной задачи:

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})\vec{\ddot{r}} = \vec{F} \\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Или же с учётом проекций:

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})\ddot{r} = F_r + F_\theta\\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Обсуждение результатов и выводы

В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На следующем этапе предстоит аналитически решить полученную систему.

Ссылки по теме

Гравитационное притяжение тел нестандартной формы

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Динамика_несферических_гравитирующих_тел&oldid=19906»