Редактирование: КП: Динамика несферических гравитирующих тел
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Аннотация проекта == | == Аннотация проекта == | ||
Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. | Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. | ||
| − | |||
Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член. | Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член. | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
| − | [[Файл: | + | [[Файл:20133.png]] |
Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы. | Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы. | ||
| − | <math>\varphi</math> | + | <math>\varphi</math> - это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения. |
| − | <math>M</math> | + | <math>M</math> - масса неподвижной частицы. |
| − | <math>m_{1} + m_{2}</math> | + | <math>m_{1} + m_{2}</math> - масса подвижной частицы. |
== Общие сведения по теме == | == Общие сведения по теме == | ||
| − | + | На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаеются вокруг неподвижной точки. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== Решение == | == Решение == | ||
Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>. | Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>. | ||
| − | Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math> | + | Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math>, <math>F_y = \frac{C}{r^3}</math>. |
Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы. | Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы. | ||
| Строка 44: | Строка 39: | ||
<math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math> | <math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math> | ||
| − | <math>\vec{e}_\theta = | + | <math>\vec{e}_\theta = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math> |
А тогда сила примет вид: | А тогда сила примет вид: | ||
| Строка 52: | Строка 47: | ||
Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>. | Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>. | ||
| − | Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех | + | Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех тех и угол поворота подвижной частицы. |
| − | Запишем <math>J</math> | + | Запишем <math>J</math> - момент инерции: |
<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы. | <math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы. | ||
| − | + | Таким образом, можно записать систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел в данной задачи: | |
<math>\begin{cases} | <math>\begin{cases} | ||
| − | (m_{1} + m_{2})\ddot{r} | + | (m_{1} + m_{2})\vec{\ddot{r}} = \vec{F} \\ |
| − | |||
| − | |||
J\ddot{\theta} = M \\ | J\ddot{\theta} = M \\ | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | Или же с учётом проекций: | |
| − | <math>\ | + | <math>\begin{cases} |
| − | |||
| − | |||
| − | + | (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\ | |
| + | (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta \\ | ||
| + | |||
| + | J\ddot{\theta} = M \\ | ||
| + | \end{cases}</math> | ||
| + | |||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
| − | + | ||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == | ||
