| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 11: |
Строка 11: |
| | | | |
| | == Аннотация проекта == | | == Аннотация проекта == |
| − | Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел.
| |
| − | На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.
| |
| − | Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.
| |
| | | | |
| | == Постановка задачи == | | == Постановка задачи == |
| − | [[Файл:787.png]]
| |
| − |
| |
| − | Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы.
| |
| − |
| |
| − | <math>\varphi</math> — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.
| |
| − |
| |
| − | <math>M</math> — масса неподвижной частицы.
| |
| − |
| |
| − | <math>m_{1} + m_{2}</math> — масса подвижной частицы.
| |
| | | | |
| | == Общие сведения по теме == | | == Общие сведения по теме == |
| − | Примером таких систем может служить притяжение спутника и Земли, так как принцип ориентации в этих системах легко понять на примере гантели (две равные массы, соединенные жестким невесомым стержнем), центр масс которой движется по круговой орбите. Различие сил притяжения конечных масс гантели Землей приводит к появлению гравитационного момента, стремящего совместить ось гантели с направлением радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Это положение равновесия является устойчивым (случай Луны, имеющей форму слегка вытянутой дыни). Существует и неустойчивое положение равновесия, когда ось гантели совпадает с направлением касательной к орбите. Ясно, что величина управляющего гравитационного момента зависит от размеров спутника. Спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:qqq.png]]
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:q.gif]]
| |
| | | | |
| | == Решение == | | == Решение == |
| − | Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math> + остальные члены ряда, <math>F_y = \frac{C}{r^3}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.
| |
| − |
| |
| − | Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:
| |
| − |
| |
| − | <math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}</math>
| |
| − |
| |
| − | А тогда сила примет вид:
| |
| − |
| |
| − | <math>\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta</math>
| |
| − |
| |
| − | Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.
| |
| − |
| |
| − | Запишем <math>J</math> — момент инерции:
| |
| − |
| |
| − | <math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.
| |
| − |
| |
| − | Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел:
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{cases}
| |
| − |
| |
| − | (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\
| |
| − |
| |
| − | (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta\\
| |
| − |
| |
| − | J\ddot{\theta} = M \\
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − |
| |
| − | Где
| |
| − |
| |
| − | <math>\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>F_r = (\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\cos\theta + \frac{C}{r^3}\sin\theta</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>F_\theta = -(\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\sin\theta + \frac{C}{r^3}\cos\theta</math>
| |
| | | | |
| | == Обсуждение результатов и выводы == | | == Обсуждение результатов и выводы == |
| − | В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. Далее эту систему можно решить численно или аналитически.
| |
| | | | |
| | == Ссылки по теме == | | == Ссылки по теме == |
| − | [[Гравитационное притяжение тел нестандартной формы]]
| |
| | | | |
| | == См. также == | | == См. также == |
