Редактирование: КП: Динамика бильярда

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2015]] > '''Динамика бильярда''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]''''' [[Файл:A1l3b.gif|thumb|Центральное разбиение |250px]]

'''Исполнитель:''' [[Булдаков Павел]]  

'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (23604)

'''Семестр:''' весна 2015

== Аннотация проекта ==
Данный проект посвящен изучению динамики [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд бильярда] .В ходе работы над проектом было рассмотрено разбиение пирамиды из шаров, данный процесс смоделирован на языке [https://ru.wikipedia.org/wiki/JavaScript JavaScript].

== Формулировка задачи ==
- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд Бильярд].  Взаимодействие между шарами описывается с помощью  [[Потенциал_Леннард-Джонса|потенциала Леннарда-Джонса]].
<br />
-Рассмотреть классическое разбиение в русском бильярде, проследить траекторию разлета.

== Общие сведения по теме ==
Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил [https://ru.wikipedia.org/wiki/Кориолис,_Гаспар-Гюстав Гаспар Гюстав Кориолис] в своей книге «Théorie mathématique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.

Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть [https://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодичность эргодической] теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ [http://masseclub.ru/statji-o-biljjarde/poleznoe-o-biljjarde/matematicheskaja-teorija-biljjarda.html определения числа pi с помощью бильярда]. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков [http://masseclub.ru/statji-o-biljjarde/poleznoe-o-biljjarde/matematicheskaja-teorija-biljjarda.html Штайнхауса, Альхазена и Гарднера].

При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.

== Решение == 
Приняты некоторые допущения: 
* все шары считаются идеально упругими и почти идеально жёсткими;
* каждый шар имеет массу в 1 единицу и радиус в 1 единицу;
* взаимодействие между двумя шарами описывается формулой 
<math>
\left\{ 
\begin{array}{ll}
F_{LJ} = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right], \qquad & r<d; \\ 
F_{LJ} = 0, \qquad & r > d; \\
\end{array}
\right.
</math>

где d — расстояние между центрами шаров,<math>F_{LJ}(r)</math> — сила [[Потенциал Леннард-Джонса|Леннард-Джонса]]


[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407 Профессор Джим Белк (Jim Belk)] рассчитал направление и скорость движения каждого из 15 шаров пирамиды, а также битка , после соударения.Для сравнения, помните, что начальная скорость битка была 10 ед/сек.
<br>[[Файл:WHVJA1.png| Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды. |250px]] [[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407]] <br>
[[Файл:017cae37a4318f94cff572023a52bddb.png|слева]]






Ниже приведена программа( созданная совместно со [[Степанов Матвей|Степановым Матвеем]] на основании программы [[Динамика взаимодействующих частиц]]) , в которой видно, что траектория разлета шаров схожи с расчетными траекториями  профессора.


{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Stepanov/Billyard1version.html | справа |width=500|height=780 |border=0 }}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"Billyard1version.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">

window.addEventListener("load", MainBalls, true);
function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {

    // Предварительные установки

    var canvas = canvasBalls;
    var context = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
    canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;};    // блокировка контекстного меню

    var Pi = 3.1415926;                   // число "пи"

    var m0 = 1;                           // масштаб массы
    var T0 = 1;                           // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
    var a0 = 1;        // масштаб расстояния (диаметр шара)
    var q = 90;                     // угол 
  

    var g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
    var k0 = 2 * Pi / T0;                 // масштаб частоты
    var C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
    var B0 = 2 * m0 * k0;                 // масштаб вязкости
  var v0 = 1;      //начальная скорость


    // *** Задание физических параметров ***

    var Ny = 32;                          // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
    var m = 1 * m0;                       // масса
    var Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
    var Cball = 0.1 * Cwall;              // жесткость между частицами
    var B = 0.008 * B0;                   // вязкость среды
    var Bwall = 0.03 * B0;                // вязкость на стенках
    var mg = 0.25 * m * g0;               // сила тяжести
    var r = 0.5 * a0;                     // радиус частицы в расчетных координатах
    var K = 0.85;                         // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
    var a = 2 * r;                        // равновесное расстояние между частицами
    var aCut = 2.00001 * r;               // радиус обрезания

    // *** Задание вычислительных параметров ***

    var fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
    var spf = 100;                        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
    var dt  = 0.045 * T0 / fps;           // шаг интегрирования (качество расчета)

    // Выполнение программы

    var scale = canvas.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
    var r2 = r * r;                       // ___в целях оптимизации___
    var aCut2 = aCut * aCut;              // ___в целях оптимизации___
    var a2 = a * a;                       // ___в целях оптимизации___
    var D = a2 * Cball / 72;              // энергия связи между частицами
    var LJCoeff = 12 * D / a2;            // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
  
    var Ka = K * a;                       // ___в целях оптимизации___
    var K2a2 = K * K * a2;                // ___в целях оптимизации___

    var w = canvas.width / scale;           // ширина окна в расчетных координатах
    var h = canvas.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах

    // Работа с массивом

    var balls = [];                             // массив шаров
    var addNewBall =  function(x, y) {
        // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
        if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
        for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
            var rx = balls[i].x - x;
            var ry = balls[i].y - y;
            var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
            if (rLen2 < 4 * r2) return null;
        }
        var b = [];

        b.x = x;                b.y = y;        // расчетные координаты шара
        b.fx = 0;               b.fy = 0;      // сила, действующая на шар
        b.vx = 0;               b.vy = 0;       // скорость

        balls[balls.length] = b;                // добавить элемент в конец массива
        return b;
    };

    // Основной цикл программы

    function control() {
        physics();
        draw();
    }

    // Расчетная часть программы

    function physics() {                        // то, что происходит каждый шаг времени
        for (var s = 1; s <= spf; s++) {

            // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
            for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
                balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
                balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
            }

            for (var i = 0; i < balls.length; i++) {  // пеерсчет взаимодействия между шарами


    //попадание в лузу 
    
      if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};  

                // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
                // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
                var b = balls[i];
                for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
                    var b2 = balls[j];
                    var rx = b.x - b2.x;   var ry = b.y - b2.y;         // вектор смотрит на первый шар (b)
                    var r2 = rx * rx + ry * ry;                         // квадрат расстояния между шарами
                    if (r2 > aCut2) continue;                           // проверка на радиус обрезания
                    var rLen = (Math.sqrt(r2));
        

                    // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
                    if (r2 < K2a2) {
                        if (rLen > 0.00001) {                           // проверка, чтобы избежать деления на 0
                            rx = rx / rLen * Ka;
                            ry = ry / rLen * Ka;
                        }
                        r2 = K2a2;
                        rLen = Ka;                                      // корень K2a2
                    }

                    // сила взаимодействия
                    var s2 = a2 / r2;         var s4 = s2 * s2;         // ___в целях оптимизации___
                    var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1);          // сила взаимодействия Леннарда-Джонса

                    var Fx = F * rx;        var Fy = F * ry;
                    b.fx += Fx;             b.fy += Fy;
                    b2.fx -= Fx;            b2.fy -= Fy;
                }

                if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; }    // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление 
                if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
                if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
                if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }

                b.vx += b.fx / m * dt;        b.vy += b.fy / m * dt;
                b.x += b.vx * dt;             b.y += b.vy * dt;
            }
        }
    }

    // Рисование

    var rScale13 = r * scale * 1.3;         // ___в целях оптимизации___
    var rScaleShift = r * scale / 5;        // ___в целях оптимизации___
  var line ;
  var radi = 30;              // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
  
    function draw() {
        context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);      // очистить экран
        for (var i = 1; i < balls.length; i++){
            var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
            gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
            context.fillStyle = gradient;

            context.beginPath();
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
            context.closePath();
            context.fill();
        }
    for (var i = 0; i < 1; i++){
            var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
            gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
            context.fillStyle = gradient;

            context.beginPath();
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
            context.closePath();
            context.fill();
        }

    
    
      context.lineWidth="3";
      context.strokeStyle="#fff506";
            context.beginPath();
            context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);                                                                                                                                                         
      context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
            context.stroke();
    

    // прорисовка луз
    // verh lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff ";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,14 +2.5 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(14 +2.5,0 );
    context.stroke();
  
      // verh prav
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(286 - 2.5, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,0 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="##ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,14 +2.5 );
    context.stroke();
  
        // niz lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(14 +2.5,600 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 586 - 2.5);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,600 );
    context.stroke();
    
    
    // niz prav
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,586 - 2.5);
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(286 - 2.5,600 );
    context.stroke();
  
  //sered lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 289);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,311);
    context.stroke();
  
  //sered prav
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 289);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,311 );
    context.stroke();
    
  
    }
  

    // Запуск системы
                      // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
    
  this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
  this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла

 // Настройка интерфейса

    slider_01.min = 0;               slider_01.max =360;
    slider_01.step = 0.5;
    slider_01.value = q;          // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
    text_01.value = Math.abs(q);
    slider_02.min = 0;               slider_02.max = 10;
    slider_02.step = 0.5;
    slider_02.value = v0;                // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
    text_02.value = v0;
  
  this.setSlider_01(q);
  this.setSlider_02(v0);
    
    this.newSystem = function() {
    balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
        balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
  }

  this.newSystem1 = function() {
  for (var i = 20; i >= 0; i--) 
  {balls.splice(i, 1)};
  addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
  
}
    setInterval(control, 1000 / fps);
}




</syntaxhighlight>
Файл '''"Billyard1version.html"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <title>Billyard</title>
    <script src="Billyard1version.js"></script>
</head>
<body>
     <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
<br>
    <div>Угол:
        <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
       q =
        <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)"  oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.setSlider_01(this.value);
            document.getElementById('slider_01').value = this.value;
        ">
    </div><br>

    <div>Начальная скорость:
        <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
       v0 =
        <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.setSlider_02(this.value);
            document.getElementById('slider_02').value = this.value;
        ">
    </div><br> 
  
  
  <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
  <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem1();return false;" value="AGAIN"/>
  
 <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
            document.getElementById('slider_01'),
            document.getElementById('text_01'),
            document.getElementById('slider_02'),
            document.getElementById('text_02')
    );</script>
</body>
</html>
</syntaxhighlight>
</div>



В реальности данная картина так же видна, хоть и не столь явно из-за неидеальности системы .




[[Файл:1.gif]]


 [[Файл:2.gif]] 



[[Файл:3.gif]]

== Обсуждение результатов и выводы ==
В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает, что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла, так как меняется распространение ударной волны в пирамиде. При силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении на 1- полное отклонение от симметрии, при 0.1 - заметное отклонение от симметрии, при 0.01 - трудно различимое , при дальнейшем уменьшении требуется большая сила удара для различения отклонения от симметрии.

== Ссылки по теме ==
* [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KORIOLIS_Gaspar_Gyustav/_Koriolis_G.G..html, Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.]
*[[Потенциал_Леннард-Джонса|потенциала Леннарда-Джонса]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/JavaScript JavaScript]
*[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407 Профессор Джим Белк (Jim Belk)]
== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ]]


[[Category: Студенческие проекты]]