Редактирование: КП: Динамика бильярда

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2015]] > '''Динамика бильярда''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]''''' [[Файл:A1l3b.gif|thumb|Центральное разбиение |250px]]

'''Исполнитель:''' [[Булдаков Павел]]  

'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (23604)

'''Семестр:''' весна 2015

== Аннотация проекта ==
Данный проект посвящен изучению динамики [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд бильярда] .В ходе работы над проектом было рассмотрено разбиение пирамиды из шаров, данный процесс смоделирован на языке [https://ru.wikipedia.org/wiki/JavaScript JavaScript].

== Формулировка задачи ==
- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд Бильярд].  Взаимодействие между шарами описывается с помощью  [[Потенциал_Леннард-Джонса|потенциала Леннарда-Джонса]].
<br />
-Рассмотреть классическое разбиение в русском бильярде, проследить траекторию разлета.

== Общие сведения по теме ==
Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил [https://ru.wikipedia.org/wiki/Кориолис,_Гаспар-Гюстав Гаспар Гюстав Кориолис] в своей книге «Théorie mathématique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.

Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть [https://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодичность эргодической] теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ [http://masseclub.ru/statji-o-biljjarde/poleznoe-o-biljjarde/matematicheskaja-teorija-biljjarda.html определения числа pi с помощью бильярда]. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков [http://masseclub.ru/statji-o-biljjarde/poleznoe-o-biljjarde/matematicheskaja-teorija-biljjarda.html Штайнхауса, Альхазена и Гарднера].

При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.

== Решение == 
Приняты некоторые допущения: 
* все шары считаются идеально упругими и почти идеально жёсткими;
* каждый шар имеет массу в 1 единицу и радиус в 1 единицу;
* взаимодействие между двумя шарами описывается формулой 
<math>
\left\{ 
\begin{array}{ll}
F_{LJ} = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right], \qquad & r<d; \\ 
F_{LJ} = 0, \qquad & r > d; \\
\end{array}
\right.
</math>

где d — расстояние между центрами шаров,<math>F_{LJ}(r)</math> — сила [[Потенциал Леннард-Джонса|Леннард-Джонса]]


[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407 Профессор Джим Белк (Jim Belk)] рассчитал направление и скорость движения каждого из 15 шаров пирамиды, а также битка , после соударения.Для сравнения, помните, что начальная скорость битка была 10 ед/сек.
<br>[[Файл:WHVJA1.png| Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды. |250px]] [[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407]] <br>
[[Файл:017cae37a4318f94cff572023a52bddb.png|слева]]






Ниже приведена программа( созданная совместно со [[Степанов Матвей|Степановым Матвеем]] на основании программы [[Динамика взаимодействующих частиц]]) , в которой видно, что траектория разлета шаров схожи с расчетными траекториями  профессора.


{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Stepanov/Billyard1version.html | справа |width=500|height=780 |border=0 }}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"Billyard1version.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">

window.addEventListener("load", MainBalls, true);
function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {

    // Предварительные установки

    var canvas = canvasBalls;
    var context = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
    canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;};    // блокировка контекстного меню

    var Pi = 3.1415926;                   // число "пи"

    var m0 = 1;                           // масштаб массы
    var T0 = 1;                           // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
    var a0 = 1;        // масштаб расстояния (диаметр шара)
    var q = 90;                     // угол 
  

    var g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
    var k0 = 2 * Pi / T0;                 // масштаб частоты
    var C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
    var B0 = 2 * m0 * k0;                 // масштаб вязкости
  var v0 = 1;      //начальная скорость


    // *** Задание физических параметров ***

    var Ny = 32;                          // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
    var m = 1 * m0;                       // масса
    var Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
    var Cball = 0.1 * Cwall;              // жесткость между частицами
    var B = 0.008 * B0;                   // вязкость среды
    var Bwall = 0.03 * B0;                // вязкость на стенках
    var mg = 0.25 * m * g0;               // сила тяжести
    var r = 0.5 * a0;                     // радиус частицы в расчетных координатах
    var K = 0.85;                         // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
    var a = 2 * r;                        // равновесное расстояние между частицами
    var aCut = 2.00001 * r;               // радиус обрезания

    // *** Задание вычислительных параметров ***

    var fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
    var spf = 100;                        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
    var dt  = 0.045 * T0 / fps;           // шаг интегрирования (качество расчета)

    // Выполнение программы

    var scale = canvas.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
    var r2 = r * r;                       // ___в целях оптимизации___
    var aCut2 = aCut * aCut;              // ___в целях оптимизации___
    var a2 = a * a;                       // ___в целях оптимизации___
    var D = a2 * Cball / 72;              // энергия связи между частицами
    var LJCoeff = 12 * D / a2;            // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
  
    var Ka = K * a;                       // ___в целях оптимизации___
    var K2a2 = K * K * a2;                // ___в целях оптимизации___

    var w = canvas.width / scale;           // ширина окна в расчетных координатах
    var h = canvas.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах

    // Работа с массивом

    var balls = [];                             // массив шаров
    var addNewBall =  function(x, y) {
        // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
        if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
        for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
            var rx = balls[i].x - x;
            var ry = balls[i].y - y;
            var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
            if (rLen2 < 4 * r2) return null;
        }
        var b = [];

        b.x = x;                b.y = y;        // расчетные координаты шара
        b.fx = 0;               b.fy = 0;      // сила, действующая на шар
        b.vx = 0;               b.vy = 0;       // скорость

        balls[balls.length] = b;                // добавить элемент в конец массива
        return b;
    };

    // Основной цикл программы

    function control() {
        physics();
        draw();
    }

    // Расчетная часть программы

    function physics() {                        // то, что происходит каждый шаг времени
        for (var s = 1; s <= spf; s++) {

            // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
            for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
                balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
                balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
            }

            for (var i = 0; i < balls.length; i++) {  // пеерсчет взаимодействия между шарами


    //попадание в лузу 
    
      if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
    if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};  

                // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
                // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
                var b = balls[i];
                for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
                    var b2 = balls[j];
                    var rx = b.x - b2.x;   var ry = b.y - b2.y;         // вектор смотрит на первый шар (b)
                    var r2 = rx * rx + ry * ry;                         // квадрат расстояния между шарами
                    if (r2 > aCut2) continue;                           // проверка на радиус обрезания
                    var rLen = (Math.sqrt(r2));
        

                    // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
                    if (r2 < K2a2) {
                        if (rLen > 0.00001) {                           // проверка, чтобы избежать деления на 0
                            rx = rx / rLen * Ka;
                            ry = ry / rLen * Ka;
                        }
                        r2 = K2a2;
                        rLen = Ka;                                      // корень K2a2
                    }

                    // сила взаимодействия
                    var s2 = a2 / r2;         var s4 = s2 * s2;         // ___в целях оптимизации___
                    var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1);          // сила взаимодействия Леннарда-Джонса

                    var Fx = F * rx;        var Fy = F * ry;
                    b.fx += Fx;             b.fy += Fy;
                    b2.fx -= Fx;            b2.fy -= Fy;
                }

                if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; }    // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление 
                if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
                if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
                if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }

                b.vx += b.fx / m * dt;        b.vy += b.fy / m * dt;
                b.x += b.vx * dt;             b.y += b.vy * dt;
            }
        }
    }

    // Рисование

    var rScale13 = r * scale * 1.3;         // ___в целях оптимизации___
    var rScaleShift = r * scale / 5;        // ___в целях оптимизации___
  var line ;
  var radi = 30;              // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
  
    function draw() {
        context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);      // очистить экран
        for (var i = 1; i < balls.length; i++){
            var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
            gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
            context.fillStyle = gradient;

            context.beginPath();
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
            context.closePath();
            context.fill();
        }
    for (var i = 0; i < 1; i++){
            var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
            gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
            context.fillStyle = gradient;

            context.beginPath();
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
            context.closePath();
            context.fill();
        }

    
    
      context.lineWidth="3";
      context.strokeStyle="#fff506";
            context.beginPath();
            context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);                                                                                                                                                         
      context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
            context.stroke();
    

    // прорисовка луз
    // verh lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff ";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,14 +2.5 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(14 +2.5,0 );
    context.stroke();
  
      // verh prav
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(286 - 2.5, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,0 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="##ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 0);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,14 +2.5 );
    context.stroke();
  
        // niz lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(14 +2.5,600 );
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 586 - 2.5);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,600 );
    context.stroke();
    
    
    // niz prav
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,586 - 2.5);
    context.stroke();
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(286 - 2.5,600 );
    context.stroke();
  
  //sered lev
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(0, 289);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(0,311);
    context.stroke();
  
  //sered prav
  
  context.lineWidth="3";
    context.strokeStyle="#ffffff";
    context.beginPath();
    context.moveTo(300, 289);                                                                                                                                                         
    context.lineTo(300,311 );
    context.stroke();
    
  
    }
  

    // Запуск системы
                      // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
    
  this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
  this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла

 // Настройка интерфейса

    slider_01.min = 0;               slider_01.max =360;
    slider_01.step = 0.5;
    slider_01.value = q;          // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
    text_01.value = Math.abs(q);
    slider_02.min = 0;               slider_02.max = 10;
    slider_02.step = 0.5;
    slider_02.value = v0;                // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
    text_02.value = v0;
  
  this.setSlider_01(q);
  this.setSlider_02(v0);
    
    this.newSystem = function() {
    balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
        balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
  }

  this.newSystem1 = function() {
  for (var i = 20; i >= 0; i--) 
  {balls.splice(i, 1)};
  addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
  
}
    setInterval(control, 1000 / fps);
}




</syntaxhighlight>
Файл '''"Billyard1version.html"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <title>Billyard</title>
    <script src="Billyard1version.js"></script>
</head>
<body>
     <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
<br>
    <div>Угол:
        <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
       q =
        <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)"  oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.setSlider_01(this.value);
            document.getElementById('slider_01').value = this.value;
        ">
    </div><br>

    <div>Начальная скорость:
        <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
       v0 =
        <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.setSlider_02(this.value);
            document.getElementById('slider_02').value = this.value;
        ">
    </div><br> 
  
  
  <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
  <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem1();return false;" value="AGAIN"/>
  
 <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
            document.getElementById('slider_01'),
            document.getElementById('text_01'),
            document.getElementById('slider_02'),
            document.getElementById('text_02')
    );</script>
</body>
</html>
</syntaxhighlight>
</div>



В реальности данная картина так же видна, хоть и не столь явно из-за неидеальности системы .




[[Файл:1.gif]]


 [[Файл:2.gif]] 



[[Файл:3.gif]]

== Обсуждение результатов и выводы ==
В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает ,что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла (при силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении на 0.1 - заметное отклонение от траектории, при 0.01 - трудноразличимое , при дальнейшем уменьшении требуется большая сила удара для разлечения изменении траектории), так как меняется распространение ударной волны в пирамиде.

== Ссылки по теме ==
* [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KORIOLIS_Gaspar_Gyustav/_Koriolis_G.G..html, Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.]
*[[Потенциал_Леннард-Джонса|потенциала Леннарда-Джонса]]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/JavaScript JavaScript]
*[http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407 Профессор Джим Белк (Jim Belk)]
== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ]]


[[Category: Студенческие проекты]]