Исследование потери устойчивости стержня при динамическом нагружении сжимающей силой — различия между версиями
Ty4ka (обсуждение | вклад) (→Уравнения динамики стержня) |
Ty4ka (обсуждение | вклад) |
||
Строка 32: | Строка 32: | ||
Задача решается в классической теории стержней: <math>\underline{\varepsilon}=0</math>, следовательно: <math>\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}</math> | Задача решается в классической теории стержней: <math>\underline{\varepsilon}=0</math>, следовательно: <math>\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}</math> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | '''Граничные условия''' | ||
+ | |||
+ | Условие жесткой заделки на нижнем конце: | ||
+ | Отсутствие перемещений | ||
+ | <math>\underline{R}|_{s=0}=0</math> , | ||
+ | Отсутствие поворота | ||
+ | <math>\underline{\underline{P}}|_{s=0}=\underline{\underline{E}}</math> | ||
+ | |||
+ | Условия на верхнем конце стержня: | ||
+ | уравнение движения груза: <math>m(\underline{t}\cdot\underline{R}^{\cdot\cdot})|_{s=l}=-F(t)-mg-(\underline{t}\cdot\underline{N}|_{s=l})</math> | ||
+ | |||
+ | Отсутствие перемещений в плоскости | ||
+ | <math>\underline{R}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=0</math> | ||
+ | |||
+ | Возникновение сил реакций | ||
+ | <math>\underline{N}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=\underline{F}^*</math> | ||
+ | |||
+ | Т.к. груз шарнирно прикреплен к стержню | ||
+ | <math>\underline{M}|_{s=l}=0</math> | ||
+ | |||
+ | == Решение уравнений статики стержня == | ||
+ | Вектор силы <math>\underline{N}=\underline{N}|_{s=l}</math> | ||
+ | |||
+ | Вектор деформации: <math>\underline{\Phi}=\underline{R}'\times \underline{R}''</math> | ||
+ | |||
+ | Вектор момента: <math>\underline{M}=C_1\underline{\Phi}</math>, принимая во внимание ранее полученное выражение для вектора деформации <math>\underline{M}=C_1\underline{R}'\times\underline{R}''</math> | ||
+ | |||
+ | Доказывается, что конфигурация изогнутого стержня - плоская | ||
+ | <math>\underline{\underline{P}}=\underline{\underline{P}}(\psi\underline{b})</math> | ||
+ | Тогда можно найти радиус вектор <math>\underline{R}'</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{R}'=cos\psi\underline{t}+sin\psi\underline{n}</math> | ||
+ | |||
+ | В результате итоговое выражение для момента будет выглядеть <math>\underline{M}=C_1\psi\underline{b}</math> | ||
+ | |||
+ | == Краевая задача для '''<math>\psi</math>''' == | ||
+ | Дифференциальное уравнение | ||
+ | <math>C_1\psi(s)+(\underline{n}\cdot\underline{N})cos\psi-(\underline{N}\cdot\underline{t})sin\psi=0</math> | ||
+ | |||
+ | Граничные условия для переменной <math>\psi</math>: | ||
+ | <math>\psi|_{s=0}=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\psi'|_{s=l}=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Введем новые обозначения: <math>\underline{N}=N\underline{n}</math>, | ||
+ | <math>\underline{e}\cdot\underline{n}=-sin\beta</math>, | ||
+ | <math>\underline{e}\cdot\underline{t}=-cos\beta</math> | ||
+ | |||
+ | Произведем замену переменных | ||
+ | <math></math> |
Версия 00:30, 21 июня 2013
Выполнил: Клак М.А.
Научный руководитель: Иванова Е.А.
Содержание
Введение
В современных конструкциях и сооружениях большое применение имеют детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей силой оказывается иным, чем поведение коротких стержней при сжатии. При достижении силой некоторого критического значения прямолинейная форма стержня становится неустойчивой, и стержень начинает искривляться. Это явление называется потерей устойчивости.
Постановка задачи
Рассматривается первоначально прямолинейный безынерционный стержень с массой на верхнем конце. Решается задача о потери устойчивости этого стержня в случае действия на него динамической сжимающей силы.
Уравнения динамики стержня
Определяющее уравнение для момента
Вектора деформации
Связь вектор деформации изгиба кручения с тензором поворота
Вектор деформации растяжения сдвига
Задача решается в классической теории стержней:
, следовательно:Граничные условия
Условие жесткой заделки на нижнем конце: Отсутствие перемещений
, Отсутствие поворотаУсловия на верхнем конце стержня: уравнение движения груза:
Отсутствие перемещений в плоскости
Возникновение сил реакций
Т.к. груз шарнирно прикреплен к стержню
Решение уравнений статики стержня
Вектор силы
Вектор деформации:
Вектор момента:
, принимая во внимание ранее полученное выражение для вектора деформацииДоказывается, что конфигурация изогнутого стержня - плоская
Тогда можно найти радиус вектор
В результате итоговое выражение для момента будет выглядеть
Краевая задача для
Дифференциальное уравнение
Граничные условия для переменной
:
Введем новые обозначения: ,
,
Произведем замену переменных