Исследование отрицательного теплового расширения цепочки с продольной и изгибной жесткостью

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Марков Николай
Научный руководитель: В.А. Кузькин

Введение

Большинство известных веществ имеют положительный коэффициент теплового расширения. Это означает, что при увеличении температуры вещество расширяется, увеличивая занимаемый объем. Но существуют вещества, обладающие отрицательным коэффициентом теплового расширения. Хорошо известный пример такого вещества - лед. Но помимо льда отрицательным коэффициентом теплового расширения обладают и многие другие вещества, которые активно используются в науке и технике. Поэтому исследование физических процессов, лежащих в основе отрицательного теплового расширения, является актуальной проблемой. Основной причиной теплового расширения веществ являются продольные и поперечные колебания частиц, поэтому аналитическое предсказание зависимости коэффициента теплового расширения от микроскопических свойств вещества является довольно трудной задачей, решение которой предполагает использование методов статистической физики. Минус такого подхода в том, что для получения результата необходимо произвести сложные математические расчеты, такие как, например, вычисление интеграла в N - мерном фазовом пространстве. Использование метода динамики частиц для решения данной задачи позволяет получить количественные и качественные результаты, избегая сложных вычислений. В работе <<Nonlinear positive/negative thermal expansion and equations of state of a chain with longitudinal and transverse vibrations>> было проведено исследование теплового расширения цепочки с продольными и поперечными колебаниями частиц, обладающей только продольной жесткостью. В данной работе было показано, что параметр Грюнайзена меняется от [math]-\infty[/math] до +[math] \infty [/math] при изменении деформации цепочки от нуля до критического значения. Также аналитически и численно было показано, что зависимость температурного давления от температурной энергии нелинейна при малых деформациях цепочки, а при некоторых значениях деформации еще и не монотонна. Из всего вышеперечисленного делается предположение, что у реально существующих веществ зависимость температурного давления от температурной энергии при давлениях, близких к критическим, будет не линейной, что подтверждается экспериментальными данными. В связи с этим необходимо исследовать модель цепочки, более приближенную к реальной. Для этого предлагается поэтапно усложнять модель, добавляя в нее новые параметры. \par В данной работе исследуется тепловое расширение двумерной цепочки с продольной и изгибной жесткостью, частицы которой совершают продольные и поперечные колебания. Целью данной работы является исследование свойств данной цепочки при растяжении, а так же сжатии при деформациях, меньших или равных критической.

Модель цепочки

В данной работе моделирование цепочки проводится методом динамики частиц.В начальный момент времени частицы цепочки находятся на одинаковом расстоянии [math] a [/math] друг от друга и обладают произвольными скоростями, равномерно распределенными в круге. Частицы цепочки обладают продольной и поперечной компонентой скорости, что приводит к наличию отрицательного теплового расширения. Потенциал взаимодействия между частицами цепочки

[math] \Pi = \Pi_{lj} + \Pi_s [/math]

Потенциал [math] \Pi_{lj} [/math] является потенциалом Леннарда-Джонса и имеет вид

[math] \Pi_{lj} = D \biggl[ \left (\frac{a_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{a_0}{r}\right)^{6}\biggr] [/math]

Потенциал [math] \Pi_{} [/math] является потенциалом угловой пружинки и имеет вид

[math] \Pi_s = \frac{c_s (\varphi-\pi)^2}{2} [/math]

В модели используются периодические граничные условия и учитывается взаимодействие только между ближайшими соседями. Интегрирование уравнения движения используется модифицированный алгоритм Верле.

Параметры системы

На каждую рассматриваемую частицу действует сила

[math] \Vect{F} = \Vect{F_1} + \Vect{F_{-1}} [/math]

где [math] \Vect{F_1} [/math] и [math] \Vect{F_{-1}} [/math] - силы, действующие на частицу со стороны ее соседей. Макроскопическими параметрами являются тепловое давление [math] p_T [/math] и тепловая энергия [math] E_T [/math]. Тепловое давление определяется формулой

[math] p_T = p - p_0, \,\,\, p = - \langle\Vect{F_1}\rangle \cdot \Vect{e_1} [/math]

Здесь [math] \langle\Vect{F_1}\rangle[/math] - средняя сила, действующая на рассматриваемую частицу в направлении вектора [math] \Vect{e_1}[/math], где [math] \Vect{e_1}[/math] - вектор, коллинеарный цепочке в начальный момент времени. [math] p_0[/math] - холодное давление, характеризующее давление в цепочке в начальный момент времени. Тепловая энергия определяется соотношением

[math] E_T = K_T + U_T, \,\,\, K_T = \frac{m}{2} \langle \tilde v^2\rangle, \,\,\, U_T = \langle\text П\rangle - \text П_0 [/math]

здесь [math] \langle\text П\rangle [/math] - среднее значение потенциала взаимодействия в актуальной конфигурации, [math] \text П_0 [/math] - значение потенциала взаимодействия, [math] \langle \tilde v\rangle [/math] - среднее значение модуля скорости. Значения в данной модели для каждой точки на графике усредняются по разному, в зависимости от числа частиц в цепочке. При [math] n = 100 [/math] значения усредняются 60 раз по начальным условиям и [math] 3 \cdot 10^5 [/math] раз по временному шагу. При [math] n = 1000 [/math] значения усредняются 20 раз по начальным условиям и [math] 3 \cdot 10^5 [/math] раз по временному шагу. При [math] n = 10000 [/math] значения усредняются только [math] 3 \cdot 10^5 [/math] раз по временному шагу. Обезразмеривание [math] E_T [/math] происходит путем деления тепловой энергии на энергию взаимодействия [math] D [/math], а [math] p_T [/math] путем деления теплового давления на [math] \displaystyle \frac{D}{a_0} [/math].

Влияние длины цепочки

Необходимость исследования зависимости длины цепочки на зависимость [math] p_T(E_T) [/math] обусловлена использованием в модели периодических граничных условий. Особенность ПГУ заключается в том, что фактически рассматривая конечное число частиц цепочки, формально можно говорить о рассмотрении бесконечного числа частиц. Так как невозможно с абсолютной уверенностью утверждать, что изменение длины рассматриваемого участка цепочки не приведет к изменению количественных результатов моделирования, необходимо выяснить, в каких случаях длина цепочки оказывает влияние на результат, а в каких нет.

Список использованной литературы

• K. Rottiger, A.Endriss,Jorg Ihringer, S.Doyle, W.F.Kuhs. <<Lattice constants and thermal expansion of [math] H_2O [/math] and [math] D_2O [/math] Ice Ih between 10 and 265 K>>, Addendum, Acta Crystallographica
• Joseph N. Grima, Victor Zammit and Ruben Gatt. <<Negative Thermal Expansion>>, Msida MSD 06, Malta.
• John S. O. Evans. <<Negative thermal expansion materials>>, Journal of the Chemical Society, Dalton Transactions, Issue 19, 1999
• P.R.L. Welche, V. Heine M.T. Dove. <<Negative thermal expansion in beta-quartz>>, Phys Chem Minerals (1998)
• Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. <<Nonlinear positive/negative thermal expansion and equations of state of a chain with longitudinal and transverse vibrations>>, 2015.
• M.Born, Th. von Karman. <<Uber Schwingungen in Raumgittern>>, Physikzeitschrifft, 13:297-309,1912
• M.P. Allen, D.J. Tildesley. <<Computer Simulation of Liquids>>. Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 1987
• А.М. Кривцов. <<Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой>>. М.: Физматлит, 2007. 304 с.
• Verlet L.(1967). <<Computer 'experiments' on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules>>. Phys. Rev. 159: 98–103. doi:10.1103/physrev.159.98.
• Andrew Noske <<Efficient Algorithms for Molecular Dynamics Simulations and Other Dynamic Spatial Join Queries>>
• L. Verlet, Phys. Rev., 159 (1967).
• Vitaly A. Kuzkin, Jizeng Wang <<Infuence of thermal motion on bending stiffness of nanoscale rod-like structures>>, March 18, 2008