Задача 48.44

Решение задачи 48.44 из Мещерского

Визуализация 3D-задачи по динамике на JavaScript

Исполнитель: Санькова Татьяна

Группа 23632/2 Кафедра Теоретической механики

Условие задачи

Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.

Решение

Рисунок

Уравнение Лагранжа второго рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math]

[math]L = T - Π [/math]

Система имеет две степени свободы: длина нити ρ и угол между нитью и вертикальной осью φ.

[math] q1 = ρ, q2 = φ [/math]

Движение цилиндра плоское, его кинетическая энергия:

[math] T = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}Ϳω^{2} [/math]

Где V - скорость центра масс, распишем ее как

[math]V = Vпер - Vотн [/math]

[math]Vпер = \dot φOC [/math], [math] OC = \sqrt{R^{2} + ρ^{2}} [/math], [math] Vотн = \dot ρ [/math]

[math]V^{2} = \dot φ^{2}(R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φ\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}cosα[/math]

где

[math]cosα = \frac{R}{OC} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}}[/math]

Учитывая что

[math]Ϳ = \frac{1}{2}mR^{2}, ω = \frac{Vотн}{R} - \dot φ = \frac{\dot ρ}{R} -\dot φ[/math]

получаем выражение:

[math]T = \frac{1}{2}m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φR) + \frac{1}{4}m(\frac{\dot ρ}{R} - \dot φ)^{2}[/math]

Потенциальная энергия:

[math]Π = -mg(ρcosφ - Rsinφ)[/math]

Находим

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot ρ} = m(\dot ρ - \dot φ R + \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot φ} = m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) - \dot ρ R - \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial ρ} = m(ρ\dot φ^{2} + gcosφ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(ρsinφ - Rcosφ) [/math]

Ответ:

[math]\ddot ρ - \ddot φ R - \frac{2}{3}ρ\dot φ - \frac{2}{3}gcosφ = 0[/math]

[math]ρ^{2}\ddot φ + 2\dot φ\dot ρ ρ - Rρ\dot φ^{2} + gρsinφ = 0[/math]