Редактирование: Задача 48.44

== Решение задачи 48.44 из Мещерского ==

Визуализация 3D-задачи по динамике на JavaScript

Исполнитель: [[Санькова_Татьяна|Санькова Татьяна]]

Группа 23632/2 Кафедра Теоретической механики


==Условие задачи==
Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.

==Визуализация==
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Sankova_TN/48.44/111.html }}
@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 ==Условие задачи==
 Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.
-==Решение==
-[[File:48.44.png|thumb|left|Рисунок]]
-Уравнение Лагранжа второго рода:
-<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 </math>
-<math>L = T - Π </math>
-Система имеет две степени свободы: длина нити ρ и угол между нитью и вертикальной осью φ.
-<math> q1 = ρ, q2 = φ </math>
-Движение цилиндра плоское, его кинетическая энергия:
-<math> T = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}Ϳω^{2} </math>
-Где V - скорость центра масс, распишем ее как
-<math>V = Vпер - Vотн </math>
-<math>Vпер = \dot φOC </math>, <math> OC = \sqrt{R^{2} + ρ^{2}} </math>, <math> Vотн = \dot ρ </math>
-<math>V^{2} = \dot φ^{2}(R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φ\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}cosα</math>
-где
-<math>cosα = \frac{R}{OC} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}}</math>
-Учитывая что
-<math>Ϳ = \frac{1}{2}mR^{2}, ω = \frac{Vотн}{R} - \dot φ = \frac{\dot ρ}{R} -\dot φ</math>
-получаем выражение:
-<math>T = \frac{1}{2}m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φR) + \frac{1}{4}m(\frac{\dot ρ}{R} - \dot φ)^{2}</math>
-Потенциальная энергия:
-<math>Π = -mg(ρcosφ - Rsinφ)</math>
-Находим
-<math>\frac{\partial L}{\partial \dot ρ} = m(\dot ρ - \dot φ R + \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) </math>
-<math>\frac{\partial L}{\partial \dot φ} = m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) - \dot ρ R - \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) </math>
-<math>\frac{\partial L}{\partial ρ} = m(ρ\dot φ^{2} + gcosφ) </math>
-<math>\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(ρsinφ - Rcosφ) </math>
-Ответ:
-<math>\ddot ρ - \ddot φ R - \frac{2}{3}ρ\dot φ - \frac{2}{3}gcosφ = 0</math>
-<math>ρ^{2}\ddot φ + 2\dot φ\dot ρ ρ - Rρ\dot φ^{2} + gρsinφ = 0</math>
 ==Визуализация==
 {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Sankova_TN/48.44/111.html }}