Редактирование: Задача многих тел в небесной механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец...» (Откр 1:8) == | == «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец...» (Откр 1:8) == | ||
Небесная механика — раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы — обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых небесных тел. | Небесная механика — раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы — обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых небесных тел. | ||
Теоретический фундамент, на котором построена небесная механика и механика космического полета − это закон всемирного тяготения Ньютона: две материальные точки, обладающие массами <math>m</math> и <math>M</math>, тяготеют друг к другу с силой | Теоретический фундамент, на котором построена небесная механика и механика космического полета − это закон всемирного тяготения Ньютона: две материальные точки, обладающие массами <math>m</math> и <math>M</math>, тяготеют друг к другу с силой | ||
− | <math> {\bf F}_{12}=\frac{ | + | <math> {\bf F}_{12}=\frac{Gm_1 m_2}{r^3} {\bf r}_{12} </math> |
<math>{\bf r}_{12}={\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}</math> | <math>{\bf r}_{12}={\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}</math> | ||
− | <math>G=6 | + | <math>G=6.67 \cdot \frac{10^{-8}{см^3}}{г \cdot сек^3} </math> |
Если рассматривать движение одной из этих точек <math>m</math> относительно другой <math>M</math>, считая, что можно пренебречь всеми силами, кроме гравитационной, то дифференциальные уравнения движения получат вид: | Если рассматривать движение одной из этих точек <math>m</math> относительно другой <math>M</math>, считая, что можно пренебречь всеми силами, кроме гравитационной, то дифференциальные уравнения движения получат вид: | ||
Строка 17: | Строка 13: | ||
<math>{\ddot x}_i +\frac{G(m+M)x_i}{r^3}=0; i=1,2,3</math> | <math>{\ddot x}_i +\frac{G(m+M)x_i}{r^3}=0; i=1,2,3</math> | ||
− | + | Это уравнение легко интегрируется в элементарных функциях. | |
− | |||
− | Это уравнение легко интегрируется в элементарных функциях | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== «И ты будешь вечно идти, и не будет тебе ни покоя, ни смерти». (Легенда об Агасфере.) == | == «И ты будешь вечно идти, и не будет тебе ни покоя, ни смерти». (Легенда об Агасфере.) == | ||
− | + | Результаты интегрирования: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Спутник может двигаться по эллиптической или параболической или гиперболической орбите в зависимости от величины эксцентриситета. Нас интересует,конечно, случай эллиптической орбиты. | |
− | <math>r=\frac{p}{1+\varepsilon cos\nu}</math> | + | <math>r=\frac{p}{1+\varepsilon cos\nu}</math>[[Файл:Kepler.png|280px|thumb|right|рис. 1]] |
− | + | <math>p=\frac{2r_a r_ \pi }{r_a+r_\pi}</math> | |
− | |||
− | <math> | + | <math>\varepsilon=\frac{r_a-r_\pi}{r_a+r_\pi}</math> |
− | <math> | + | Экцентрическая аномалия <math>Е</math> связана со временем <math>t</math> ''уравнением Кплера'' |
− | + | <math>E-\varepsilon sin E =n(t-\tau_\pi^{"*"})</math> ,где | |
+ | |||
+ | <math>n=\sqrt{G M/a^3}</math> так называемое среднее движение; | ||
<math>a=\frac{r_a+r_\pi}2</math> | <math>a=\frac{r_a+r_\pi}2</math> | ||
− | + | Постоянная <math>\tau_\pi^{"*"}</math> обозначает момент прохождения через перигей орбиты | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Из этого соотношения выводится все параметры классической орбиты: Период обращения спутника, модуль скорости на данном участке орбиты,и два интеграла движения (интеграл энергии и вектор Лапласса). | Из этого соотношения выводится все параметры классической орбиты: Период обращения спутника, модуль скорости на данном участке орбиты,и два интеграла движения (интеграл энергии и вектор Лапласса). | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== «И познаете истину, и истина сделает вас свободными» (Ин. 8:32) == | == «И познаете истину, и истина сделает вас свободными» (Ин. 8:32) == | ||
− | |||
− | <math>\ddot x_i+\frac{G(m+M) x_i}{r^3}=f_i</math> -учтём действие сторонних сил | + | <math>\ddot x_i+\frac{G(m+M) x_i}{r^3}=f_i</math> -учтём действие сторонних сил. |
<math>i=1,2,3</math> | <math>i=1,2,3</math> | ||
− | |||
− | |||
<math>\sqrt{\sum f^2_i}<<\frac{G\mu}{r^2}</math>- условие малости их величины. | <math>\sqrt{\sum f^2_i}<<\frac{G\mu}{r^2}</math>- условие малости их величины. | ||
− | [[Файл:Oskul.png|340px|thumb|рис 2]] | + | Тогда некоторые пораметры орбиты спутника будут оскулировать. (Например, долгота перигелия орбиты, как на рисунке 2.(Также будет иметь место его систематический вековой уход, накапливающийся от поворота к повороту спутника)) |
− | + | [[Файл:Oskul.png|340px|thumb|left/рис 2]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== «Во многой мудрости много печали, и кто умножает познания, умножает скорбь.» (Еккл 1:18) == | == «Во многой мудрости много печали, и кто умножает познания, умножает скорбь.» (Еккл 1:18) == | ||
Строка 139: | Строка 89: | ||
В зависимости от формы орбит тел <math>S</math> и <math>J</math> конечных масс можно различать гиперболическую, параболическую и эллиптическую ограниченные задачи трех тел. Когда тела <math> S</math> и <math>J</math> движутся по окружностям, то говорят о круговой ограниченной задаче. Если тело <math>P</math> малой массы во все время движения находится в плоскости движения тел <math>S</math> и <math> J</math>, то говорят, что соответствующая ограниченная задача плоская. Если же тело <math>P</math> в своем движении выходит из плоскости орбит тел <math>S</math> и <math>J</math>, то говорят о пространственной ограниченной задаче. | В зависимости от формы орбит тел <math>S</math> и <math>J</math> конечных масс можно различать гиперболическую, параболическую и эллиптическую ограниченные задачи трех тел. Когда тела <math> S</math> и <math>J</math> движутся по окружностям, то говорят о круговой ограниченной задаче. Если тело <math>P</math> малой массы во все время движения находится в плоскости движения тел <math>S</math> и <math> J</math>, то говорят, что соответствующая ограниченная задача плоская. Если же тело <math>P</math> в своем движении выходит из плоскости орбит тел <math>S</math> и <math>J</math>, то говорят о пространственной ограниченной задаче. | ||
− | + | Со многих точек зрения удобно изучать движение тела <math>P</math> в системе координат, вращающейся вместе с телами <math>S</math> и <math>J</math>, выбрав единицу длины такой, чтобы и для некруговой задачи расстояние между телами <math>S</math> и <math>J</math> было постоянным. В этой системе координат упомянутым выше точным решениям задачи трех тел соответствуют фиксированные точки - положения равновесия тела <math>P</math>. Точки, лежащие на прямой, проходящей через <math>S</math> и <math>J</math>, обозначают через <math>L_1</math> , <math>L_2</math> и <math>L_3</math> , а точки, образующие равносторонние треугольники с телами <math>S</math> и <math>J</math>, обозначают через <math>L_4</math> и <math>L_5</math> . Если тело <math>P</math> поместить в<math> L_i</math> с нулевой (во вращающейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвижным. Точки <math>L_i</math> часто называют точками либрации или либрационными центрами; <math>L_4</math> и <math>L_5</math> - треугольные, а <math>L_1 , L_2 , L_3</math> - прямолинейные (коллинеарные) точки либрации. | |
− | + | Задача об устойчивости прямолинейных точек либрации оказалась сравнительно несложной. Она решена давно, причем с отрицательным выводом - все три точки <math>L_1 , L_2</math> и <math>L_3</math> неустойчивы. Это значит, что частицы космической материи, попадающие в окрестность прямолинейной точки либрации, с течением времени выбрасываются из этой окрестности. | |
+ | Вопрос об устойчивости треугольных точек либрации оказался более трудным. В большинстве случаев они будут утойчивы. | ||
− | |||
− | |||
− | == «Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под Солнцем.» | + | == «Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под Солнцем.» Еккл 1:8 == |
Проблема устойчивости Солнечной системы начала интересовать учёных сразу после открытия закона всемирного тяготения. Первое исследование в этой области принадлежит автору термина «небесная механика» Пьеру Лапласу. В 1773 году он доказал теорему примерно следующего содержания: «если движение планет происходит в одном направлении, их массы одного порядка, эксцентриситеты и наклоны малы, а большие полуоси испытывают лишь небольшие колебания относительно среднего положения, то эксцентриситеты и наклоны орбит будут оставаться малыми на рассматриваемом интервале»[1]. То есть при указанных, крайне ограниченных условиях, Солнечная система была бы стабильной. | Проблема устойчивости Солнечной системы начала интересовать учёных сразу после открытия закона всемирного тяготения. Первое исследование в этой области принадлежит автору термина «небесная механика» Пьеру Лапласу. В 1773 году он доказал теорему примерно следующего содержания: «если движение планет происходит в одном направлении, их массы одного порядка, эксцентриситеты и наклоны малы, а большие полуоси испытывают лишь небольшие колебания относительно среднего положения, то эксцентриситеты и наклоны орбит будут оставаться малыми на рассматриваемом интервале»[1]. То есть при указанных, крайне ограниченных условиях, Солнечная система была бы стабильной. | ||
Строка 154: | Строка 103: | ||
Другая значительная попытка доказать устойчивость или неустойчивость Солнечной системы была предпринята А. Н. Колмогоровым, В. И. Арнольдом и Ю. Мозером в 60-х годах XX века (так называемая КАМ-теория). Ими была доказана теорема примерно следующего содержания: «если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) движение будет условно-периодическим, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений». В солнечной системе есть резонансы, и теорема относится только к системе трёх тел. | Другая значительная попытка доказать устойчивость или неустойчивость Солнечной системы была предпринята А. Н. Колмогоровым, В. И. Арнольдом и Ю. Мозером в 60-х годах XX века (так называемая КАМ-теория). Ими была доказана теорема примерно следующего содержания: «если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) движение будет условно-периодическим, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений». В солнечной системе есть резонансы, и теорема относится только к системе трёх тел. | ||
− | + | Резонансы в солнечной системе. | |
+ | |||
+ | Самый простой резонанс возникает, если отношение периодов обращения двух планет в Солнечной системе равно отношению двух небольших чисел. В результате резонанса планеты могут передавать друг другу заметные количества момента вращения. Некоторые из известных приближений к резонансам: Нептун и Плутон, периоды обращения которых относятся почти как 3:2, система Юпитер-Сатурн (приближение к 2:5) и резонанс между Меркурием и Юпитером, у которых близки друг к другу периоды прецессии перигелия. | ||
− | |||
== «...сам сатана принимает вид ангелов света...» (2-е послание к Коринфянам 11:14) == | == «...сам сатана принимает вид ангелов света...» (2-е послание к Коринфянам 11:14) == | ||
Строка 163: | Строка 113: | ||
Для внутренних планет численные расчеты дают хаотичность их положения на орбите. Кроме того, особой проблемой является Меркурий, который, резонансно взаимодействуя с Юпитером, может существенно изменять свою орбиту. В одном из последних исследований моделирование проводилось на интервале времени порядка миллиардов лет и рассчитывалось 2500 вариантов с орбитой Меркурия, изменяющейся с шагом 0,38 мм (в настоящий момент погрешность её измерений порядка метров). Среди этих вариантов обнаружено 20 решений, где орбита Меркурия приобретает достаточный эксцентриситет для пересечения орбит Венеры, Земли и Марса. Среди этих орбит есть такие, что Меркурий падает на Солнце, сталкивается с другими внутренними планетами, либо дестабилизирует их орбиты так, что они сами сталкиваются друг с другом. | Для внутренних планет численные расчеты дают хаотичность их положения на орбите. Кроме того, особой проблемой является Меркурий, который, резонансно взаимодействуя с Юпитером, может существенно изменять свою орбиту. В одном из последних исследований моделирование проводилось на интервале времени порядка миллиардов лет и рассчитывалось 2500 вариантов с орбитой Меркурия, изменяющейся с шагом 0,38 мм (в настоящий момент погрешность её измерений порядка метров). Среди этих вариантов обнаружено 20 решений, где орбита Меркурия приобретает достаточный эксцентриситет для пересечения орбит Венеры, Земли и Марса. Среди этих орбит есть такие, что Меркурий падает на Солнце, сталкивается с другими внутренними планетами, либо дестабилизирует их орбиты так, что они сами сталкиваются друг с другом. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |