Динамическое исследование аневризмы аорты — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Руководитель == проф. дфмн. А.В. Порубов == Введение == Аорта – самый крупный артериальны…»)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 4: Строка 4:
 
Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.
 
Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.
  
С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки [24].  
+
С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки.  
 
[[Файл:66518_html_m31bb26e5.png|300px|thumb|right|Стентирование аорты]]  
 
[[Файл:66518_html_m31bb26e5.png|300px|thumb|right|Стентирование аорты]]  
Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [18].
+
Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [3].
  
Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [16]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [5, 22].
+
Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [2]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [1, 4].
  
Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости.  Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [5].
+
Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости.  Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [1].
 
Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных  друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости.  
 
Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных  друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости.  
  
Строка 26: Строка 26:
 
*Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи  на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).
 
*Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи  на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).
  
== Постановка задачи: уравнения ==
+
== Постановка задачи: Уравнения ==
 
*Для жидкости внутри аорты  справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:
 
*Для жидкости внутри аорты  справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:
 
[[Файл:Formula_1.jpg|150px|thumb|left]]
 
[[Файл:Formula_1.jpg|150px|thumb|left]]
,где v(x,t) – скорости потока жидкости вдоль оси трубки, ρ – постоянная  плотность жидкости, x – координата вдоль оси трубки, t – время, p(x,t) – давление жидкости.  
+
,где <math>v(x,t)</math> – скорости потока жидкости вдоль оси трубки,<math>ρ</math>  – постоянная  плотность жидкости, <math>x</math> – координата вдоль оси трубки,<math>t</math>  – время, <math>p(x,t)</math> – давление жидкости.  
  
  
Строка 36: Строка 36:
 
*Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:
 
*Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:
 
[[Файл:Formula_2.jpg|200px|thumb|left]]
 
[[Файл:Formula_2.jpg|200px|thumb|left]]
,где u(x,t) – радиальное упругое смещение стенки трубки,  R=R(x)  -  радиус трубки.  
+
,где <math>u(x,t)</math> – радиальное упругое смещение стенки трубки,  <math>R=R(x)</math> -  радиус трубки.  
  
  
Строка 45: Строка 45:
 
*Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:
 
*Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:
 
[[Файл:Formula_3.jpg|250px|thumb|left]]
 
[[Файл:Formula_3.jpg|250px|thumb|left]]
,где E - модуль Юнга, а параметр a характеризует нелинейную упругость, P - внешнее давление, P_0- атмосферное давление, ρ_0 - плотность материала стенки, константы h и H  пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.
+
,где <math>E</math> - модуль Юнга, а параметр <math>a</math> характеризует нелинейную упругость,<math>P</math>  - внешнее давление, <math>P_0</math>- атмосферное давление,<math>ρ_0</math>  - плотность материала стенки, константы <math>h</math> и <math>H</math>   пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Постановка задачи: Модельное уравнение ==
 +
В известных работах рассматривались случаи постоянной величины радиуса <math>R</math> (Yomosa, 1987) и переменного радиуса <math>R</math>(Kraenkel et al., 2007). Мы будем рассматривать случай резких изменений, которому соответствует кусочно-непрерывный характер радиуса, при этом производные от радиуса в уравнениях учитываться не будут.
 +
Новое модельное уравнение в виде модифицированного уравнения Буссинеска с пременными коэффициентами записывается в виде:
 +
[[Файл:Formula_4.jpg|350px|thumb|left]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Точное решение в виде бегущей уединенной волны при постоянном значении радиуса R ==
 +
Точное решение модельного уравнения при постоянном значении радиуса <math>R</math> получено в виде(где <math>a_1</math> и <math>c_1</math>– комбинации коэффициентов модельного уравнения, характеризующие упругие свойства стенки <math>β</math> - свободный параметр.):
 +
[[Файл:Formula_5.jpg|350px|thumb|left]]
 +
[[Файл:Formula_6.jpg|250px|thumb|left|Амплитуда]]
 +
[[Файл:Formula_7.jpg|250px|thumb|left|Скорость]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Численное исследование эволюции локализованной в волны в аорте ==
 +
В пакете Вольфрам Математика был разработан код, с помощью которого и были решены нелинейные уравнения в частных производных и произведена визуализация полученных решений.
 +
Начальное условие:
 +
[[Файл:Formula_8.jpg|350px|thumb|left]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Кусочно-непрерывный характер радиуса задается функцией(где <math>с_{11}</math> и <math>с_{21}</math>– размеры изменения глубины неоднородности,<math>x_{11}</math> и <math>x_{12}</math>– размеры изменения длины неоднородности,<math>k_m</math> и <math>k_n</math>– крутизна заднего и переднего фронта неоднородности соответственно):
 +
[[Файл:Formula_9.jpg|450px|thumb|left]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Визуализация и анализ результатов ==
 +
 
 +
[[Файл:150.jpg|800px|thumb|center|Поведение волны деформации при t=150, a = 0.5, β=0.4, c1=0.95]]
 +
 
 +
Синей пунктирной линией показано начальное значение амплитуды.Красной - максимальное значение амплитуды для образовавшейся отраженной волны. Зеленой пунктирной линией обозначено максимальное значение амплитуды вторичной волны. Коричневым цвет - максимальное значение амплитуды основной волны.
 +
 
 +
Исходя из визуализации данных делаем следующие выводы:
 +
Амплитуда основной волны резко возрастает на подходе к неоднородности, достигает своего максимума внутри нее. После прохождения пораженного участка наблюдается снижение амплитуды до своего минимума, затем рост, до значения практически равного начальному значению амплитуды, с которой волна деформации продолжает распространяться до конца рассмотренного участка. Возрастание скорости наблюдается только при прохождении неоднородности.
 +
Отраженная волна образуется внутри неоднородности и на рассмотренном участке распространяется с затухающей скоростью и амплитудой.
 +
Вторичная волна образуется внутри неоднородности и распространяется с постоянной скоростью. Амплитуда распространения данной волны меняется на всем рассмотренном участке незначительно, на границах участка имеет одинаковые значения и является максимальной.
 +
 
 +
На представленном ниже рисунке показано, как со временем меняется амплитуда трех волн деформации при рассмотренном случае моделирования неоднородности.
 +
 
 +
[[Файл:Am(t).jpg|800px|thumb|center|График зависимости амплитуды от времени при моделировании волны деформации в трубке с наличием неоднородности:
 +
а – для основной волны,
 +
б – для отраженной волны,
 +
в – для вторичной волны.
 +
]]
 +
 
 +
== Задача акустодиагностики ==
 +
 
 +
Задача акустодиагностики заключается в возможности сравнения скорости пульсовой волны, полученной на практике, со скоростью полученной на основе точного решения. После по изменению поведения проходящей вдоль аорты нелинейной волны деформации можно определить положение неоднородности и масштабы пораженного участка.
 +
 
 +
== Выводы ==
 +
*Получено модельное уравнение для поперечных волн деформации в виде модифицированного уравнения Буссинеска с переменными коэффициентами;
 +
 
 +
*Проведено численное исследование распространения локализованной волны деформации вдоль аорты,  разработан код в среде Вольфрам Математика;
 +
 
 +
*Установлены основные качественные и количественные изменения в поведении волны при прохождении неоднородности: образование вторичной и отраженной локализованных волн;
 +
 
 +
*Установлено сходство этих волн с точным решением в виде бегущей уединенной волны;
 +
 
 +
*Это позволяет использовать выражения для параметров аналитического решения для определения параметров неоднородности по измеренным значениям амплитуды и скорости волны;
 +
 
 +
*Возможно дальнейшее использование модели для других частных случаев неоднородности, в частности, расширения стенок аорты;
 +
 
 +
*В перспективе применение модели на практике для диагностики характера и тяжести заболевания (акустодиагностики).
 +
== Список литературы ==
 +
1. А. Н. Волобуев. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. – 1995. -  Т. 165. - №2. - С. 177 – 186.
 +
 
 +
2. G. A. Holzapfel , T.  C. Gasser,  R. W. Ogden, A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models// Journal of Elasticity 61. 2000. 1–48.
 +
 
 +
3. R. A. Kraenkel, S. Noubissie, P. Woafo. A mathematical model for wave propagation in elastic tubes with inhomogeneities: Application to blood waves propagation // Physica D 236. 2007. 131-140.
 +
 
 +
4. S. Yomosa. Solitary Waves in Large Blood Vessels // J. Phys. Soc. Japan 56. 1987. 506-520.

Текущая версия на 21:35, 14 июня 2015

Руководитель[править]

проф. дфмн. А.В. Порубов

Введение[править]

Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.

С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки.

Стентирование аорты

Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [3].

Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [2]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [1, 4].

Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости. Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [1]. Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости.

В данной работе предлагается метод, с помощью которого наличие неоднородностей стенки аорты, образовавшихся в результате болезни или использования стента, можно обнаружить, наблюдая за изменением скорости и амплитуды волны деформации, распространяющейся вдоль стенки аорты.

Цели[править]

  • Исследовать эволюцию нелинейных локализованных волн в аорте;
  • Исследовать возможность использования этих волн для акустодиагностики неоднородностей на стенке аорты.

Постановка задачи: Модель[править]

Схематическое изображение трубки
  • Аорта - цилиндрическая упругая тонкостенная трубка;
  • Кровь внутри аорты - идеальная несжимаемая жидкость;
  • Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).

Постановка задачи: Уравнения[править]

  • Для жидкости внутри аорты справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:
Formula 1.jpg

,где [math]v(x,t)[/math] – скорости потока жидкости вдоль оси трубки,[math]ρ[/math] – постоянная плотность жидкости, [math]x[/math] – координата вдоль оси трубки,[math]t[/math] – время, [math]p(x,t)[/math] – давление жидкости.



  • Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:
Formula 2.jpg

,где [math]u(x,t)[/math] – радиальное упругое смещение стенки трубки, [math]R=R(x)[/math] - радиус трубки.




  • Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:
Formula 3.jpg

,где [math]E[/math] - модуль Юнга, а параметр [math]a[/math] характеризует нелинейную упругость,[math]P[/math] - внешнее давление, [math]P_0[/math]- атмосферное давление,[math]ρ_0[/math] - плотность материала стенки, константы [math]h[/math] и [math]H[/math] пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.



Постановка задачи: Модельное уравнение[править]

В известных работах рассматривались случаи постоянной величины радиуса [math]R[/math] (Yomosa, 1987) и переменного радиуса [math]R[/math](Kraenkel et al., 2007). Мы будем рассматривать случай резких изменений, которому соответствует кусочно-непрерывный характер радиуса, при этом производные от радиуса в уравнениях учитываться не будут. Новое модельное уравнение в виде модифицированного уравнения Буссинеска с пременными коэффициентами записывается в виде:

Formula 4.jpg




Точное решение в виде бегущей уединенной волны при постоянном значении радиуса R[править]

Точное решение модельного уравнения при постоянном значении радиуса [math]R[/math] получено в виде(где [math]a_1[/math] и [math]c_1[/math]– комбинации коэффициентов модельного уравнения, характеризующие упругие свойства стенки [math]β[/math] - свободный параметр.):

Formula 5.jpg
Амплитуда
Скорость
















Численное исследование эволюции локализованной в волны в аорте[править]

В пакете Вольфрам Математика был разработан код, с помощью которого и были решены нелинейные уравнения в частных производных и произведена визуализация полученных решений. Начальное условие:

Formula 8.jpg






Кусочно-непрерывный характер радиуса задается функцией(где [math]с_{11}[/math] и [math]с_{21}[/math]– размеры изменения глубины неоднородности,[math]x_{11}[/math] и [math]x_{12}[/math]– размеры изменения длины неоднородности,[math]k_m[/math] и [math]k_n[/math]– крутизна заднего и переднего фронта неоднородности соответственно):

Formula 9.jpg




Визуализация и анализ результатов[править]

Поведение волны деформации при t=150, a = 0.5, β=0.4, c1=0.95

Синей пунктирной линией показано начальное значение амплитуды.Красной - максимальное значение амплитуды для образовавшейся отраженной волны. Зеленой пунктирной линией обозначено максимальное значение амплитуды вторичной волны. Коричневым цвет - максимальное значение амплитуды основной волны.

Исходя из визуализации данных делаем следующие выводы: Амплитуда основной волны резко возрастает на подходе к неоднородности, достигает своего максимума внутри нее. После прохождения пораженного участка наблюдается снижение амплитуды до своего минимума, затем рост, до значения практически равного начальному значению амплитуды, с которой волна деформации продолжает распространяться до конца рассмотренного участка. Возрастание скорости наблюдается только при прохождении неоднородности. Отраженная волна образуется внутри неоднородности и на рассмотренном участке распространяется с затухающей скоростью и амплитудой. Вторичная волна образуется внутри неоднородности и распространяется с постоянной скоростью. Амплитуда распространения данной волны меняется на всем рассмотренном участке незначительно, на границах участка имеет одинаковые значения и является максимальной.

На представленном ниже рисунке показано, как со временем меняется амплитуда трех волн деформации при рассмотренном случае моделирования неоднородности.

График зависимости амплитуды от времени при моделировании волны деформации в трубке с наличием неоднородности: а – для основной волны, б – для отраженной волны, в – для вторичной волны.

Задача акустодиагностики[править]

Задача акустодиагностики заключается в возможности сравнения скорости пульсовой волны, полученной на практике, со скоростью полученной на основе точного решения. После по изменению поведения проходящей вдоль аорты нелинейной волны деформации можно определить положение неоднородности и масштабы пораженного участка.

Выводы[править]

  • Получено модельное уравнение для поперечных волн деформации в виде модифицированного уравнения Буссинеска с переменными коэффициентами;
  • Проведено численное исследование распространения локализованной волны деформации вдоль аорты, разработан код в среде Вольфрам Математика;
  • Установлены основные качественные и количественные изменения в поведении волны при прохождении неоднородности: образование вторичной и отраженной локализованных волн;
  • Установлено сходство этих волн с точным решением в виде бегущей уединенной волны;
  • Это позволяет использовать выражения для параметров аналитического решения для определения параметров неоднородности по измеренным значениям амплитуды и скорости волны;
  • Возможно дальнейшее использование модели для других частных случаев неоднородности, в частности, расширения стенок аорты;
  • В перспективе применение модели на практике для диагностики характера и тяжести заболевания (акустодиагностики).

Список литературы[править]

1. А. Н. Волобуев. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. – 1995. - Т. 165. - №2. - С. 177 – 186.

2. G. A. Holzapfel , T. C. Gasser, R. W. Ogden, A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models// Journal of Elasticity 61. 2000. 1–48.

3. R. A. Kraenkel, S. Noubissie, P. Woafo. A mathematical model for wave propagation in elastic tubes with inhomogeneities: Application to blood waves propagation // Physica D 236. 2007. 131-140.

4. S. Yomosa. Solitary Waves in Large Blood Vessels // J. Phys. Soc. Japan 56. 1987. 506-520.