Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Тема проекта)
(Ссылки по теме)
Строка 35: Строка 35:
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
  
== Ссылки по теме ==  
+
== Ссылки по теме ==
 +
[http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum| Double pendulum 2D Wiki]<br>
 +
[http://vuz.exponenta.ru/PDF/koleb2s2.html| Двумерный случай двойного маятника]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 11:27, 22 мая 2012

Тема проекта

Описание колебаний двойного маятника

Постановка задачи

Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:

  1. Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
  2. Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
  3. Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
  • [math]\varphi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
  • [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения


Задача:

  • Найти уравнение движения системы

Решение

Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]

  • [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
  • [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
  • [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
  • [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
  • [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы


Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]

  • В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.

Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия первого стержня
[math]\Pi_1 = m_1 g (\frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi )[/math] - Потенциальная энергия первого стержня

Обсуждение результатов и выводы

Ссылки по теме

Double pendulum 2D Wiki
Двумерный случай двойного маятника

См. также