Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | [[Dzenushko Dainis. Course project for theoretical mechanics "Double pendulum" | English version ]][[Файл:EN.jpg]]
| |
| == Тема проекта == | | == Тема проекта == |
| Описание колебаний двойного маятника | | Описание колебаний двойного маятника |
Строка 85: |
Строка 84: |
| | | |
| '''Найдем угловую скорость второго стержня'''<br> | | '''Найдем угловую скорость второго стержня'''<br> |
− | <math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br><br> | + | <math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br> |
− | | |
− | '''Найдем скорость центра масс'''<br>
| |
− | <math>\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2</math><br><br>
| |
− | | |
− | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br>
| |
− | <math>T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br><br>
| |
− | | |
− | '''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br>
| |
− | <math>\Pi_2 = m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br><br>
| |
− | | |
− | '''Найдем кинетическую и потенциальную энергии первого стержня'''<br>
| |
− | <math>T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2</math><br>
| |
− | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math><br><br>
| |
− | | |
− | '''Получение уравнения движения для частного случая'''<br>
| |
− | Запишем выражения для полной кинетической и потенциальной энергий:<br>
| |
− | <math>T = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br>
| |
− | <math>\Pi = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right) + m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br>
| |
− | Теперь продифференцируем энергии и произведем линеаризацию полученного результата предполагая что <math>\varphi , \psi</math> малые углы оставив только бесконечно малые первого порядка. В результате получим уравнение движения:<br>
| |
− | <math>
| |
− | \begin{cases}
| |
− | \ddot{\varphi} \left( \frac{m_1 a^2}{3} + \frac{m_2 b^2}{3} + m_2 a (a+b) \right) + \ddot{\psi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \varphi \frac{g}{2} \left((m_1+2m_2)a+m_2 b \right)+\psi \frac{g}{2}m_2 b = 0\\
| |
− | \ddot{\varphi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \ddot{\psi} \frac{m_2 b^2}{3} + \varphi \frac{g}{2} m_2 b + \psi \frac{g}{2} m_2 b = 0\\
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math>
| |
| | | |
| == Обсуждение результатов и выводы == | | == Обсуждение результатов и выводы == |
− | В данной работе был подробно описан алгоритм решения задачи о двойном маятнике в случае когда оба шарнира циллиндрические. Затем данный метод был применен для частного случая плоской задачи.
| |
| | | |
| == Ссылки по теме == | | == Ссылки по теме == |