Редактирование: Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике

== Тема проекта ==
Описание колебаний двойного маятника

== Постановка задачи ==
Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет <math>\alpha</math>. Диссипативные силы не учитываются.<br>
'''Параметры системы:'''<br>
#Тензоры инерции первого и второго стержней равны <math>\underline{\underline{\Theta}}_1</math> и <math>\underline{\underline{\Theta}}_2</math> соответственно. 
#Длины стержней равны a и b, их массы <math>m_1</math> и <math>m_2</math> соответственно первому и второму стержням.
#Угол между осями вращения шарниров равен <math>\alpha</math><br>
*<math>\varphi</math> - угол между первым стержнем и вертикалью
*<math>\psi</math> - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения

<gallery widths=231px heights=319px perrow = 1>
Файл:2_oscillator.jpg‎
</gallery>
'''Задача:'''<br>
*Найти уравнение движения системы

== Решение ==
'''Определимся с подходом к решению:''' Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:<br>
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i</math><br>
*<math>T</math> - Кинетическая энергия системы <br>
*<math>\Pi</math> - Потенциальная энергия системы<br>
*<math>q_i</math> - Обобщенные координаты<br>
*<math>\dot{q}_i</math> - Обобщенные скорости<br>
*<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br>
<br>

'''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> <br>
*В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br>

'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br>
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
<math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня; Где 
<math>\qquad \Theta_1 = \frac{m_1 a^2}{3}</math> - момент инерции первого стержня<br>
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br>
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br>
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br>

'''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br>
Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br>
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br>
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br>
Где:<br>
<math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br>
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br>

<math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br>
Теперь по формуле сложения угловых скоростей<br>
<math>\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1</math><br>
Где:<br>
<math>\underline{\tilde{\omega}}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times </math><br>
Таким образом получаем что:<br>
<math>\underline{\omega}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}</math><br><br>
'''Найдем скорость центра масс второго стержня'''<br>

<math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_2\cdot\underline{\underline{P}}_1 \cdot b\underline{j}</math>
<br><br>

'''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br>
Запишем тензор инерции второго стержня:<br>
<math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{j}</math><br><br>
Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br>
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math>
<br><br>

'''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br>
<math>\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}</math> - радиус-вектор центра масс второго стержня<br><br>
'''Получение уравнения движения'''<br>
Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.<br>
Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы <math>\varphi,\psi</math> малы и отбросив слагаемые второго порядка.<br>

== Применение метода решения для частного случая ==
Проверим описанный выше метод в частном случае при <math>\alpha = 0</math><br> 
В таком случае задача сводится к двухмерной.<br>
'''Найдем тензоры поворота'''<br>
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br><br>
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}</math><br>
<math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \underline{k}</math><br>
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br>

== Обсуждение результатов и выводы ==

== Ссылки по теме ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum  Double pendulum 2D Wiki]<br>
*[http://vuz.exponenta.ru/PDF/koleb2s2.html  Двумерный случай двойного маятника]

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 20510 (2012)|Список курсовых проектов]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"]]
* [[Дзенушко Дайнис]]


[[Category: Студенческие проекты]]