Редактирование: Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
== Тема проекта == | == Тема проекта == | ||
Описание колебаний двойного маятника | Описание колебаний двойного маятника | ||
Строка 27: | Строка 26: | ||
*<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br> | *<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br> | ||
<br> | <br> | ||
− | |||
'''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> <br> | '''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> <br> | ||
*В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br> | *В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br> | ||
− | |||
'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | '''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | ||
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | <math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | ||
− | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия | + | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня<br> |
− | |||
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | ||
− | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2 | + | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br> |
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | <math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | ||
− | |||
'''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br> | '''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br> | ||
Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br> | Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br> | ||
Строка 46: | Строка 41: | ||
<math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br> | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br> | ||
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br> | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br> | ||
− | |||
<math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | ||
− | + | Теперь по формуле сложения угловых скоростей<br> | |
− | + | <math>\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1</math><br> | |
− | <math> \underline{\ | + | Где:<br> |
− | + | <math>\underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi} \underline{e}_0</math><br> | |
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
Таким образом получаем что:<br> | Таким образом получаем что:<br> | ||
− | <math>\underline{\omega}_2 = | + | <math>\underline{\omega}_2 = \dot{\psi} \underline{e}_0 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}</math><br> |
− | + | <math>\underline{\underline{P}}_2 = ?</math><br><br> | |
− | + | '''Найдем тензор поворота второго стержня:'''<br> | |
− | + | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \cos(\varphi)\sin(\alpha)\underline{i} + \sin(\varphi)\sin(\alpha)\underline{j} + \cos(\alpha)\underline{k}</math><br><br> | |
− | + | <math>\underline{e}\underline{e} = cos^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ii} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ij} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ik} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ji} + sin^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{jj} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{jk} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ki} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{kj} + cos^2(\alpha)\underline{kk}</math><br><br> | |
− | + | <math>\underline{ee}\cdot \dot{\varphi}\underline{k} = \dot{\varphi} \left[cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{i} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{j} + cos^2(\alpha)\underline{k}\right]</math><br><br> | |
− | + | <math>\left(\underline{\underline{E}} - \underline{ee}\right)\cdot \dot{\varphi}\underline{k} =\dot{\varphi} \left[... \right]</math><br><br> | |
− | |||
− | <math>\underline{\underline{ | ||
− | |||
− | |||
− | <br><br> | ||
− | |||
− | '''Найдем | ||
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math>\underline{e} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | <math> | ||
− | \ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | </math> | ||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |