Два цилиндра (48.40)

Задача 48.40 из сборника задач Мещерского: составить уравнения движения двух цилиндров и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Формулировка задачи

Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны [math]\frac{1}{2}\ mr ^{2}[/math] и [math]MR^{2}[/math]. Составить уравнения движения системы.

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)[/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы [math]\varphi [/math] и [math]\psi [/math].

Представим:

[math]T = T_1+T_2[/math], где [math]T_1[/math] - кинетическая энергия цилиндра массы M, а [math]Т_2[/math] - цилиндра массы m.

Полый цилиндр массы M вращается вокруг неподвижной оси, следовательно:

[math]T_1 = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ[/math]

Движение цилиндра массы m плоское.

[math]T_2 = \frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{4}mr^{2} ω^{2}[/math]

Где [math]V[/math] - скорость центра масс цилиндра массой m(точки O₁):

[math]V = \dot φ (R-r)[/math]

Обозначим θ - угол поворота цилиндра массы m относительно точки O₁, а ω - угловая скорость вращения относительно этой точки:

[math]θr = φ(R-r)-ψR[/math]

[math]ω = \dot θ = \frac{R-r}{r}\dot φ - \frac{R}{r}\dot ψ[/math]

Окончательно получаем T и П(определяется только силой тяжести цилиндра массой m):

[math]T = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2})[/math]

[math]П = mg(R-r)(1-cosφ)[/math]

Таким образом,

[math]L = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2}) - mg(R-r)(1-cosφ) [/math]

Найдем:

[math]\frac{\partial L}{\partial\dot ψ} = MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{2}mR(R\dot ψ - (R-r)\dot φ)[/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial ψ} = 0 [/math]

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot ψ}\right) = MR^{2}\ddot ψ + \frac{1}{2}mR(R\ddot ψ - (R-r)\ddot φ)[/math]