Редактирование: Два цилиндра (48.40)

'''Задача 48.40 из сборника задач Мещерского:''' составить уравнения движения двух цилиндров и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.
==Формулировка задачи==
Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны <math>\frac{1}{2}\  mr ^{2}</math> и <math>MR^{2}</math>. Составить уравнения движения системы.
==Решение задачи==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0  ,  (i = 1,2)</math> , где
 L = T - П - функция Лагранжа
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\psi </math>.

Представим:

<math>T = T_1+T_2</math>, где <math>T_1</math> - кинетическая энергия цилиндра массы M, а <math>Т_2</math> - цилиндра массы m.

Полый цилиндр массы M вращается вокруг неподвижной оси, следовательно:

<math>T_1 = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ</math>

Движение цилиндра массы m плоское.

<math>T_2 = \frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{4}mr^{2} ω^{2}</math>

Где <math>V</math> - скорость центра масс цилиндра массой m(точки O<sub>1</sub>):

<math>V = \dot φ (R-r)</math>

Обозначим θ - угол поворота цилиндра массы m относительно точки O<sub>1</sub>, а ω - угловая скорость вращения относительно этой точки:

<math>θr = φ(R-r)-ψR</math>

<math>ω = \dot θ = \frac{R-r}{r}\dot φ - \frac{R}{r}\dot ψ</math>

Окончательно получаем T и П(определяется только силой тяжести цилиндра массой m):

<math>T = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2})</math>

<math>П = mg(R-r)(1-cosφ)</math>

Таким образом,

<math>L = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2}) - mg(R-r)(1-cosφ) </math>

Найдем:

<math>\frac{\partial L}{\partial\dot ψ} = MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{2}mR(R\dot ψ - (R-r)\dot φ)</math>

<math>\frac{\partial L}{\partial ψ} = 0 </math>

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot ψ}\right) = MR^{2}\ddot ψ + \frac{1}{2}mR(R\ddot ψ - (R-r)\ddot φ)</math>

<math>\frac{\partial L}{\partial\dot φ} = \frac{3}{2}m(R-r)^{2}\dot φ - \frac{1}{2}mR(R-r)\dot ψ</math>

<math>\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(R-r)sinφ </math>

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot φ}\right) = \frac{3}{2}m(R-r)^{2}\ddot φ - \frac{1}{2}mR(R-r)\ddot ψ</math>

В результате получаем уравнения, описывающие движение рассматриваемой системы:

<math>MR^{2}\ddot ψ + \frac{1}{2}mR(R\ddot ψ - (R-r)\ddot φ) = 0</math>

<math>\frac{3}{2}(R-r)\ddot φ - \frac{1}{2}R\ddot ψ + gsinφ = 0</math>

или:

<math>\ddot ψ - \frac{m^{2}(R-r)}{2M(M+m)R}\ddot φ</math>

<math>\ddot φ - \frac{R}{3(R-r)}\ddot ψ + \frac{2g}{3(R-r)}sinφ</math>

==Реализация на языке JavaScript==
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov/4840.html|width=750 |height=550|border=0 }}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:'''
<div class="mw-collapsible-content"> 
Файл '''"4840.html"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">

<!DOCTYPE html>

<html>

<head>
    <title>4840</title>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\three.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\jquery-1.9.0.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\stats.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\dat.gui.js"></script>
	<script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\OrbitControls.js"></script>
    <style>
        body{
            /* set margin to 0 and overflow to hidden, to go fullscreen */
            margin: 0;
            overflow: hidden;
        }
    </style>
</head>
<body>

<div id="Stats-output"></div>
<div id="WebGL-output"></div>

<script type="text/javascript">

    $(function () {
		var stats = initStats();

        var scene = new THREE.Scene();

        var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);

        var renderer = new THREE.WebGLRenderer();

        renderer.setClearColor(new THREE.Color(0xEEEEEE, 1.0));
        renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
        renderer.shadowMapEnabled = true;
		
		var axes = new THREE.AxisHelper( 20 );
		axes.position.x = -40;
		axes.position.z = 20;
                scene.add(axes);
		
		var spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff );
		spotLight.position.set( -100, 0, -10 );
		scene.add(spotLight );
		
		var cylinder = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(20, 20, 20,30,1,true));
                scene.add(cylinder);
		
		var cylinder1 = createMesh1(new THREE.CylinderGeometry(5, 5, 20, 30, 1));
                cylinder1.position.x=0;
                cylinder1.position.y=0;
                cylinder1.position.z=-15;
                scene.add(cylinder1);
		
		var group1 = new THREE.Object3D();
		group1.add(cylinder);
		group1.add(cylinder1);
		group1.position.x = 0;
		group1.position.y = -10;
		scene.add(group1);
		
        function createMesh(geom) {
            var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial();
            meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
            var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial();
            wireFrameMat.wireframe = true;
            var mesh = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
            return mesh;
			
        }
		function createMesh1(geom) {
			var texture = THREE.ImageUtils.loadTexture("http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\bathroom.jpg")
                        var mat = new THREE.MeshPhongMaterial();
                        mat.map = texture;			
			var mesh = new THREE.Mesh(geom, mat);			
			return mesh;
        }

        camera.position.x = 0;
        camera.position.y = -150;
        camera.position.z = 100;
        camera.lookAt(scene.position);

		$("#WebGL-output").append(renderer.domElement);
		renderer.render(scene, camera);
		var stats = initStats();
		cameraControls = new THREE.OrbitControls(camera, renderer.domElement);
		cameraControls.maxDistance = 100;
		cameraControls.minDistance = 0.5;
		cameraControls.update();
		
        var controls = new function() {
            this.Speed = 0.05;
            this.Rotation = 0.01;
            this.M1 = 0.2;
            this.M2 = 0.05;
	    this.phi = '0';
        }

        var gui = new dat.GUI();
        gui.add(controls, 'Speed',0,0.1);
        gui.add(controls, 'Rotation',0,0.1);
        gui.add(controls, 'M1',0.2,0.5);
        gui.add(controls, 'M2',0.01,0.05);
	gui.add(controls,'phi').listen()	
	render();
		
		var step = 0;
		var psi2 = 0;
		var phi = Math.PI/2;
		var psi = 0;
		var phi2 = 0;
		var phi1 = 0;
		var psi1 = 0;
		function render() {
			stats.update();
			cameraControls.update();
			requestAnimationFrame(render);
			renderer.render(scene, camera);
			step += controls.Speed;
			psi2 = (0.375*controls.M2*controls.M2)/(controls.M1*(controls.M1+controls.M2));
			phi2 = 0.44*psi2 - 0.44*Math.sin(phi);
			psi1 = psi1+psi2*controls.Speed;
			phi1 = phi1+phi2*controls.Speed;
			phi = phi+phi1*controls.Speed;
			psi = psi+psi1*controls.Speed;		
			w = 3*phi1-4*psi1;
			controls.phi=phi;
			cylinder1.rotation.y = 4*w;
			cylinder.rotation.y = w+Math.PI/2;
			cylinder1.position.x=15*Math.sin(phi);
			cylinder1.position.z=-15*Math.abs((Math.cos(phi)));
			group1.rotation.z += controls.Rotation;
		}
		
		function initStats() {
                    var stats = new Stats();
                    stats.setMode(0); // 0: fps, 1: ms
                    stats.domElement.style.position = 'absolute';
                    stats.domElement.style.left = '0px';
                    stats.domElement.style.top = '0px';
                    $("#Stats-output").append(stats.domElement);
                    return stats;
        }
    });

</script>
</body>
</html>

</syntaxhighlight>
</div>
</div>