| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | '''Задача 48.40 из сборника задач Мещерского:''' составить уравнения движения двух цилиндров и смоделировать систему на языке программирования JavaScript. | + | '''Задача 48.40 из сборника задач Мещерского''' |
| − | [[File:4840.png|thumb|right]]
| |
| − | ==Формулировка задачи==
| |
| − | Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны <math>\frac{1}{2}\ mr ^{2}</math> и <math>MR^{2}</math>. Составить уравнения движения системы.
| |
| − | ==Решение задачи==
| |
| − | Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)</math> , где
| |
| − | L = T - П - функция Лагранжа
| |
| − | T - кинетическая энергия системы
| |
| − | П - потенциальная энергия системы
| |
| − | q - независимые обобщенные координаты
| |
| − | | |
| − | В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\psi </math>.
| |
| − | | |
| − | Представим:
| |
| − | | |
| − | <math>T = T_1+T_2</math>, где <math>T_1</math> - кинетическая энергия цилиндра массы M, а <math>Т_2</math> - цилиндра массы m.
| |
| − | | |
| − | Полый цилиндр массы M вращается вокруг неподвижной оси, следовательно:
| |
| − | | |
| − | <math>T_1 = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ</math>
| |
| − | | |
| − | Движение цилиндра массы m плоское.
| |
| − | | |
| − | <math>T_2 = \frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{4}mr^{2} ω^{2}</math>
| |
| − | | |
| − | Где <math>V</math> - скорость центра масс цилиндра массой m(точки O<sub>1</sub>):
| |
| − | | |
| − | <math>V = \dot φ (R-r)</math>
| |
| − | | |
| − | Обозначим θ - угол поворота цилиндра массы m относительно точки O<sub>1</sub>, а ω - угловая скорость вращения относительно этой точки:
| |
| − | | |
| − | <math>θr = φ(R-r)-ψR</math>
| |
| − | | |
| − | <math>ω = \dot θ = \frac{R-r}{r}\dot φ - \frac{R}{r}\dot ψ</math>
| |
| − | | |
| − | Окончательно получаем T и П(определяется только силой тяжести цилиндра массой m):
| |
| − | | |
| − | <math>T = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2})</math>
| |
| − | | |
| − | <math>П = mg(R-r)(1-cosφ)</math>
| |
| − | | |
| − | Таким образом,
| |
| − | | |
| − | <math>L = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{4}m(3(R-r)^{2}\dot φ^{2}-2R(R-r)\dot φ\dot ψ + (R\dot ψ)^{2}) - mg(R-r)(1-cosφ) </math>
| |
| − | | |
| − | Найдем:
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial\dot ψ} = MR^{2}\dot ψ + \frac{1}{2}mR(R\dot ψ - (R-r)\dot φ)</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial ψ} = 0 </math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot ψ}\right) = MR^{2}\ddot ψ + \frac{1}{2}mR(R\ddot ψ - (R-r)\ddot φ)</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial\dot φ} = \frac{3}{2}m(R-r)^{2}\dot φ - \frac{1}{2}mR(R-r)\dot ψ</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(R-r)sinφ </math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot φ}\right) = \frac{3}{2}m(R-r)^{2}\ddot φ - \frac{1}{2}mR(R-r)\ddot ψ</math>
| |
| − | | |
| − | В результате получаем уравнения, описывающие движение рассматриваемой системы:
| |
| − | | |
| − | <math>MR^{2}\ddot ψ + \frac{1}{2}mR(R\ddot ψ - (R-r)\ddot φ) = 0</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{3}{2}(R-r)\ddot φ - \frac{1}{2}R\ddot ψ + gsinφ = 0</math>
| |
| − | | |
| − | или:
| |
| − | | |
| − | <math>\ddot ψ - \frac{m^{2}(R-r)}{2M(M+m)R}\ddot φ</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\ddot φ - \frac{R}{3(R-r)}\ddot ψ + \frac{2g}{3(R-r)}sinφ</math>
| |
| − | | |
| − | ==Реализация на языке JavaScript==
| |
| − | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov/4840.html|width=750 |height=550|border=0 }}
| |
| − | | |
| − | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| |
| − | '''Текст программы на языке JavaScript:'''
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| |
| − | Файл '''"4840.html"'''
| |
| − | <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
| |
| − | | |
| − | <!DOCTYPE html>
| |
| − | | |
| − | <html>
| |
| − | | |
| − | <head>
| |
| − | <title>4840</title>
| |
| − | <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\three.js"></script>
| |
| − | <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\jquery-1.9.0.js"></script>
| |
| − | <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\stats.js"></script>
| |
| − | <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\dat.gui.js"></script>
| |
| − | <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\OrbitControls.js"></script>
| |
| − | <style>
| |
| − | body{
| |
| − | /* set margin to 0 and overflow to hidden, to go fullscreen */
| |
| − | margin: 0;
| |
| − | overflow: hidden;
| |
| − | }
| |
| − | </style>
| |
| − | </head>
| |
| − | <body>
| |
| − | | |
| − | <div id="Stats-output"></div>
| |
| − | <div id="WebGL-output"></div>
| |
| − | | |
| − | <script type="text/javascript">
| |
| − | | |
| − | $(function () {
| |
| − | var stats = initStats();
| |
| − | | |
| − | var scene = new THREE.Scene();
| |
| − | | |
| − | var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);
| |
| − | | |
| − | var renderer = new THREE.WebGLRenderer();
| |
| − | | |
| − | renderer.setClearColor(new THREE.Color(0xEEEEEE, 1.0));
| |
| − | renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
| |
| − | renderer.shadowMapEnabled = true;
| |
| − |
| |
| − | var axes = new THREE.AxisHelper( 20 );
| |
| − | axes.position.x = -40;
| |
| − | axes.position.z = 20;
| |
| − | scene.add(axes);
| |
| − |
| |
| − | var spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff );
| |
| − | spotLight.position.set( -100, 0, -10 );
| |
| − | scene.add(spotLight );
| |
| − |
| |
| − | var cylinder = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(20, 20, 20,30,1,true));
| |
| − | scene.add(cylinder);
| |
| − |
| |
| − | var cylinder1 = createMesh1(new THREE.CylinderGeometry(5, 5, 20, 30, 1));
| |
| − | cylinder1.position.x=0;
| |
| − | cylinder1.position.y=0;
| |
| − | cylinder1.position.z=-15;
| |
| − | scene.add(cylinder1);
| |
| − |
| |
| − | var group1 = new THREE.Object3D();
| |
| − | group1.add(cylinder);
| |
| − | group1.add(cylinder1);
| |
| − | group1.position.x = 0;
| |
| − | group1.position.y = -10;
| |
| − | scene.add(group1);
| |
| − |
| |
| − | function createMesh(geom) {
| |
| − | var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial();
| |
| − | meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
| |
| − | var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial();
| |
| − | wireFrameMat.wireframe = true;
| |
| − | var mesh = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
| |
| − | return mesh;
| |
| − |
| |
| − | }
| |
| − | function createMesh1(geom) {
| |
| − | var texture = THREE.ImageUtils.loadTexture("http://tm.spbstu.ru/htmlets/Barsukov\bathroom.jpg")
| |
| − | var mat = new THREE.MeshPhongMaterial();
| |
| − | mat.map = texture;
| |
| − | var mesh = new THREE.Mesh(geom, mat);
| |
| − | return mesh;
| |
| − | }
| |
| − | | |
| − | camera.position.x = 0;
| |
| − | camera.position.y = -150;
| |
| − | camera.position.z = 100;
| |
| − | camera.lookAt(scene.position);
| |
| − | | |
| − | $("#WebGL-output").append(renderer.domElement);
| |
| − | renderer.render(scene, camera);
| |
| − | var stats = initStats();
| |
| − | cameraControls = new THREE.OrbitControls(camera, renderer.domElement);
| |
| − | cameraControls.maxDistance = 100;
| |
| − | cameraControls.minDistance = 0.5;
| |
| − | cameraControls.update();
| |
| − |
| |
| − | var controls = new function() {
| |
| − | this.Speed = 0.05;
| |
| − | this.Rotation = 0.01;
| |
| − | this.M1 = 0.2;
| |
| − | this.M2 = 0.05;
| |
| − | this.phi = '0';
| |
| − | }
| |
| − | | |
| − | var gui = new dat.GUI();
| |
| − | gui.add(controls, 'Speed',0,0.1);
| |
| − | gui.add(controls, 'Rotation',0,0.1);
| |
| − | gui.add(controls, 'M1',0.2,0.5);
| |
| − | gui.add(controls, 'M2',0.01,0.05);
| |
| − | gui.add(controls,'phi').listen()
| |
| − | render();
| |
| − |
| |
| − | var step = 0;
| |
| − | var psi2 = 0;
| |
| − | var phi = Math.PI/2;
| |
| − | var psi = 0;
| |
| − | var phi2 = 0;
| |
| − | var phi1 = 0;
| |
| − | var psi1 = 0;
| |
| − | function render() {
| |
| − | stats.update();
| |
| − | cameraControls.update();
| |
| − | requestAnimationFrame(render);
| |
| − | renderer.render(scene, camera);
| |
| − | step += controls.Speed;
| |
| − | psi2 = (0.375*controls.M2*controls.M2)/(controls.M1*(controls.M1+controls.M2));
| |
| − | phi2 = 0.44*psi2 - 0.44*Math.sin(phi);
| |
| − | psi1 = psi1+psi2*controls.Speed;
| |
| − | phi1 = phi1+phi2*controls.Speed;
| |
| − | phi = phi+phi1*controls.Speed;
| |
| − | psi = psi+psi1*controls.Speed;
| |
| − | w = 3*phi1-4*psi1;
| |
| − | controls.phi=phi;
| |
| − | cylinder1.rotation.y = 4*w;
| |
| − | cylinder.rotation.y = w+Math.PI/2;
| |
| − | cylinder1.position.x=15*Math.sin(phi);
| |
| − | cylinder1.position.z=-15*Math.abs((Math.cos(phi)));
| |
| − | group1.rotation.z += controls.Rotation;
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | function initStats() {
| |
| − | var stats = new Stats();
| |
| − | stats.setMode(0); // 0: fps, 1: ms
| |
| − | stats.domElement.style.position = 'absolute';
| |
| − | stats.domElement.style.left = '0px';
| |
| − | stats.domElement.style.top = '0px';
| |
| − | $("#Stats-output").append(stats.domElement);
| |
| − | return stats;
| |
| − | }
| |
| − | });
| |
| − | | |
| − | </script>
| |
| − | </body>
| |
| − | </html>
| |
| − | | |
| − | </syntaxhighlight>
| |
| − | </div>
| |
| − | </div>
| |
