Вязкоупругая модель склеральной оболочки глаза

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: К.П. Фролова
Научный руководитель: к.ф-м.н., доцент Е.Н. Вильчевская

Введение и мотивация работы

При построении простейших моделей глаза можно считать, что он имеет шаровидную форму. Глаз заполнен прозрачной гелеобразной субстанцией, называемой стекловидным телом. Во внешней фиброзной оболочке глаза можно выделить наружную фиброзную, среднюю сосудистую и внутреннюю сетчатую оболочки. Наружная фиброзная (корнеосклеральная) оболочка глаза выполняет защитную функцию и обуславливает форму глаза. Она состоит из передней прозрачной части - роговицы, - и задней непрозрачной части – склеры, обладающих различными радиусами кривизны и биомеханическими характеристиками. Склера занимает 93% внешней фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с определением формы и изменением объема глазного яблока под действием внутриглазного давления (ВГД), биомеханические свойства склеры играют решающую роль, и поведение глаза допустимо моделировать поведением его склеральной оболочки.

На экспериментальных кривых, соответствующих изменению ВГД в течение нескольких минут после введения интравитреальной инъекции - инъекции внутрь стекловидного тела, - наблюдается его резкий скачок непосредственно после инъекции, вызванный увеличением объема, а затем спад до некоторого постоянного значения. В большинстве существующих источников литературы данный спад объясняется наличием оттока внутриглазной жидкости из нагруженного глаза. В связи с уменьшением объема происходит уменьшение ВГД. Однако известно, что склере присуща вязкоупругая реакция на приложенную нагрузку. Непосредственное измерение вязкости склеры вызывает технические сложности и, в связи с этим, в литературе отсутствуют сведения о соответствующих параметрах вязкости. Это приводит к тому, что в большинстве существующих моделей вязкие свойства склеры игнорируются, а поведение склеры при нагрузках предполагается чисто упругим. В данной работе релаксация напряжений (спад ВГД) в глазу после введения интравитреальной инъекции объясняется не только наличием оттока внутриглазной жидкости из нагруженного глаза, но и вязкими свойствами склеральной оболочки глаза. В рамках данной работы будет предложен метод определения коэффициента сдвиговой вязкости склеры, заключающийся сравнении результатов математического моделирования и указанных в литературе экспериментальных данных, основанных на дискретном измерении ВГД в течение нескольких минут после интравитреальной инъекции. Будут рассмотрены различные варианты постановки граничных условий. В первом случае будет предполагаться, что введенный при инъекции дополнительный объем жидкости сохраняется в стекловидном теле на протяжении времени проведения эксперимента, релаксация напряжений будет объясняться только наличием вязких свойств склеры. Во втором случае будет учитываться отток внутриглазной жидкости, релаксация напряжений будет объясняться наличием обоих факторов: и наличием вязких свойств склеры, и наличием оттока внутриглазной жидкости из нагруженного глаза. Будет определяться значение коэффициента сдвиговой вязкости, при котором отклонение теоретических данных от экспериментальных минимально.

Цели исследования

• Смоделировать вязкоупругое поведение склеры после интравитреальной инъекции — инъекции внутрь стекловидного тела;
• Определить значение коэффициента сдвиговой вязкости склеры путем сравнения результатов математического моделирования и указанных в литературе экспериментальных данных, основанных на дискретном измерении внутриглазного давления (ВГД) в течение нескольких минут после интравитреальной инъекции.

Постановка задачи

Моделируемый в рамках данной работы эксперимент основан на дискретном измерении ВГД в течение нескольких минут после введения интравитреальной инъекции в объеме 0,05 мл. Точки на экспериментальной кривой соответствуют средним значениям ВГД для 34 пациентов. Для контроля состояния пациентов ВГД измерялось также и на парном не вакцинированном глазу. Задача моделируется вязкоупругим сферическим слоем с внутренним радиусом [math]R_1[/math] и внешним радиусом [math]R_2[/math] при центральносимметричной нагрузке: внешнее давление отсутствует, на внутреннем радиусе заданы перемещения, учитывающие величину дополнительного объема жидкости, введенного при инъекции. Задание нулевого давления на внешнем радиусе объясняется тем, что по определению ВГД есть разница между атмосферным давлением и давлением в глазу. Материал склеры предполагается линейным трансверсально – изотропным. Задача решается в рамках трехмерной теории линейной вязкоупругости.

Материалы и методы

Математическая модель
Рассматриваемая задача является квазистатической, следовательно, уравнение движения сферического слоя сводится к уравнению равновесия:
[math]\nabla \cdot {\pmb{\sigma }} = 0,[/math]
где [math]\pmb{\sigma }[/math] - тензор напряжений. В силу симметрии задачи данное уравнение в координатном виде в сферической системе координат сводится к следующему:
[math]\dfrac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}} + 2\dfrac{{{\sigma _{rr}} - {\sigma _{\varphi \varphi }}}}{r} = 0[/math]
Для получения определяющих соотношений воспользуемся реологической моделью Кельвина – Фойгта, достаточно хорошо описывающей поведение вязкоупругих твердых тел. Данная модель предполагает суммирование упругих и вязких напряжений и равенство упругих и вязких деформаций в теле. При этом для получения единственного решения задачи нам необходимо включать в уравнения лишь один неизвестный параметр вязкости. Итак, определяющие соотношения:
[math]{\pmb{\sigma }} ={{}^4}{\pmb{C}}:{\pmb{\varepsilon }}+ 2\eta {\pmb{\dot e}},[/math]
где [math]{{}^4}{\pmb{C}}[/math] - тензор жесткости четвертого ранга, [math]\eta[/math] - коэффициент сдвиговой вязкости, [math]\pmb{e}[/math] - девиавтор тензора деформаций.
Ненулевые компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями следующим образом:
[math]{\varepsilon _{rr}} = \dfrac{{d{u_r}}}{{dr}}\;,\;\; {\varepsilon _{\varphi \varphi }} = {\varepsilon _{\theta \theta }} = \dfrac{{{u_r}}}{r}.[/math]
Задача решается в безразмерной постановке. Введем следующие безразмерные параметры:
безразмерную координату по радиусу [math]\beta = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} \le x = \dfrac{r}{{{R_2}}} \le 1[/math], безразмерное перемещение [math]u = \dfrac{{{u_r}}}{{{R_2}}}[/math], безразмерную компоненту тензора напряжений [math]{\sigma _{ij\dim }} = \dfrac{{{\sigma _{ij}}}}{{{E_{\theta \theta }}}}[/math], безразмерный модуль Юнга [math]\xi = \dfrac{{{E_{rr}}}}{{{E_{\theta \theta }}}}[/math] и безразмерное время [math]\tau = \dfrac{{{E_{\theta \theta }}}}{\eta }t.[/math]
Тогда уравнение равновесия в перемещениях в безразмерном виде примет следующий вид:
[math]\dfrac{{{\xi ^2}(1 - {\nu _{\theta \varphi }})}}{{\xi (1 - {\nu _{\theta \varphi }}) - 2\nu _{r\theta }^2}}\left[ {\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{2}{x}\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}} - \dfrac{{2(1 - {\nu _{r\theta }})}}{{\xi (1 - {\nu _{\theta \varphi }})}}\dfrac{u}{{{x^2}}}} \right] + \dfrac{4}{3}\left[ {\dfrac{{{\partial ^2}\dot u}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{2}{x}\dfrac{{\partial \dot u}}{{\partial x}} - 2\dfrac{{\dot u}}{{{x^2}}}} \right] = 0.[/math]
ВГД может быть определено как радиальное напряжение на внутренней границе сферического слоя, взятое с обратным знаком, поскольку внешняя нормаль к внутренней границе тела направлена вовнутрь, а ВГД стремится увеличить объем тела. Итак, безразмерное ВГД определяется следующей формулой: [math]IO{P_{\dim}}(\tau) = {\left. { - {\sigma _{xx}}}(\tau) \right|_{x = \beta }}[/math]
. Безразмерное радиальное напряжение как функция перемещений:
[math]{\sigma _{xx}} (\tau) = \dfrac{{2{\nu _{r\theta }}\xi }}{{\xi (1 - {\nu _{\theta \varphi }}) - 2\nu _{r\theta }^2}}\dfrac{u}{x} + \dfrac{{(1 - {\nu _{\theta \varphi }}){\xi ^2}}}{{\xi (1 - {\nu _{\theta \varphi }}) - 2\nu _{r\theta }^2}}\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}} + \dfrac{4}{3}\left[ {\dfrac{{\partial{\dot u}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\dot u}}{x}} \right].[/math]
В рамках данной работы используются два типа граничного условия на внутреннем радиусе. В первом случае предполагается, что объем глазного яблока, включающий в себя дополнительный объем жидкости [math]{\Delta V}[/math], введенный при инъекции внутрь стекловидного тела, и объем глазного яблока [math]V_0^{eye}[/math] до нагружения, сохраняется на протяжении времени проведения эксперимента. При этом напоминаем, что моделирование глазного яблока сводится к моделированию склеральной оболочки глаза. Граничные условия задаются следующим образом:
[math]{\sigma _{xx}}(\tau )\left| {_{x = 1}} \right. = 0\;,\;\; u(\tau )\left| {_{x = \beta }} \right. = {u_0}H(\tau ),[/math]
где [math]{u_0} \approx \frac{{\Delta V}}{{4\pi {R_2}R_1^2}}[/math], [math]H(\tau)[/math] - единичная степенная функция Хевисайда.
Прямое и обратное преобразования Лапласа