Редактирование: Вязкоупругая модель склеральной оболочки глаза
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
==Результаты исследования== | ==Результаты исследования== | ||
− | Мы получили реальные функции перемещений и радиальных напряжений, зависящие от времени, путем применения численного обратного преобразования Лапласа к полученным нами ранее функциям изображений для перемещений и радиальных напряжений. Мы исследовали результаты, полученные на основе применения трех перечисленных в данной работе численных алгоритмов, а именно: алгоритма Закиана, алгоритма Джеффресона и Чоу для 10-ти и 15-ти членов разложения ряда в квадратурной формуле, задающей | + | Мы получили реальные функции перемещений и радиальных напряжений, зависящие от времени, путем применения численного обратного преобразования Лапласа к полученным нами ранее функциям изображений для перемещений и радиальных напряжений. Мы исследовали результаты, полученные на основе применения трех перечисленных в данной работе численных алгоритмов, а именно: алгоритма Закиана, алгоритма Джеффресона и Чоу для 10-ти и 15-ти членов разложения ряда в квадратурной формуле, задающей обратное преобразование Лапласа. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры был определен при двух типах граничного условия на внутреннем радиусе: в первом случае предполагалось, что объем глаза не меняется в течение времени проведения эксперимента, во втором учитывался отток внутриглазной жидкости. Зависимость скорости изменения объема внутриглазной жидкости от времени определялась на основании нескольких схем обработки данных тонографического исследования, предложенных в работе Г. Любимова. При численном решении задачи мы использовали следующие значения параметров: <math>{{R_1}}=11.75</math> мм, <math>{{R_2}}=12.25</math> мм, <math>{{E_{22}}}=14.3</math> МПа, <math>{{E_{11}}}=0.01{{E_{22}}}</math>, <math>{{\nu _{12}}}=0.01</math>, <math>{{\nu _{23}}}=0.45</math>, указанные в работах С.М. Бауэр.<br> |
− | |||
Обсудим результаты, полученные в предположении, что объем глаза не меняется на протяжении времени проведения эксперимента. При этом будем пользоваться стандартной схемой обработки данных тонографического исследования. В данном случае мы используем все безразмерные величины, перечисленные ранее в настоящей работе. Отметим, что в данном случае безразмерное радиальное напряжение не зависит от коэффициента сдвиговой вязкости в явном виде. Данный коэффициент не входит в уравнение равновесия и в выражение для радиальной компоненты тензора напряжений и не задается в качестве известного параметра задачи. Безразмерное радиальное напряжение является функцией безразмерного времени, которое, в свою очередь, связано с коэффициентом сдвиговой вязкости через размерное время. Так, коэффициент сдвиговой вязкости может быть определен по следующей формуле:<br> | Обсудим результаты, полученные в предположении, что объем глаза не меняется на протяжении времени проведения эксперимента. При этом будем пользоваться стандартной схемой обработки данных тонографического исследования. В данном случае мы используем все безразмерные величины, перечисленные ранее в настоящей работе. Отметим, что в данном случае безразмерное радиальное напряжение не зависит от коэффициента сдвиговой вязкости в явном виде. Данный коэффициент не входит в уравнение равновесия и в выражение для радиальной компоненты тензора напряжений и не задается в качестве известного параметра задачи. Безразмерное радиальное напряжение является функцией безразмерного времени, которое, в свою очередь, связано с коэффициентом сдвиговой вязкости через размерное время. Так, коэффициент сдвиговой вязкости может быть определен по следующей формуле:<br> | ||
<math>\eta = \dfrac{{{E_{\theta \theta }}t}}{\tau }.</math><br> | <math>\eta = \dfrac{{{E_{\theta \theta }}t}}{\tau }.</math><br> | ||
Строка 82: | Строка 81: | ||
|- | |- | ||
|ВГД=4533 Па, t=120 с | |ВГД=4533 Па, t=120 с | ||
− | | <math>\eta = 12.8 | + | | <math>\eta = 12.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 12.8 | + | |<math>\eta = 12.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 12.9 | + | |<math>\eta = 12.9 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=4800 Па, t=180 с | |ВГД=4800 Па, t=180 с | ||
− | |<math>\eta = 27.8 | + | |<math>\eta = 27.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 27.7 | + | |<math>\eta = 27.7 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 27.8 | + | |<math>\eta = 27.8 МПа\cdot с</math> |
|} | |} | ||
[[Файл:IOP Pa.png|400px|thumb|right|]] | [[Файл:IOP Pa.png|400px|thumb|right|]] | ||
Строка 95: | Строка 94: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | + | [[Файл:Comp num.png|300px|thumb|left|]] | |
+ | Графическое сравнение численных алгоритмов представлено на рисунке слева. Как видно, расхождение методов мало и наблюдается во второй половине эксперимента. При этом мы не можем сделать вывод о том, какой из численных алгоритмов дает наилучший результат, поскольку экспериментальные точки на данном временном участке расположены ниже асимптоты. Стоит отметить, что выполнение алгоритма Закиана является наименее трудоемким в силу использования наименьшего числа коэффициентов ряда разложения в квадратурной формуле, задающей численное обратное преобразование Лапласа. | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
Перейдем к обсуждению результатов, полученных при учете гидродинамики внутриглазной жидкости. В данном случае мы используем размерное время (в секундах) при построении уравнения равновесия и выражения для радиальной компоненты тензора напряжений в связи с тем, что в граничном условии для перемещений присутствует интеграл по времени. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры в данном случае входит в решаемые уравнения в явном виде, а его величину необходимо задавать в качестве известного параметра при численных вычислениях. Для определения оптимального значения коэффициента сдвиговой вязкости воспользуемся методом бисекции, основанном на первой теореме Больцано – Коши: <math>\Phi (\eta ) \in C[{\eta _a},{\eta _b}],\Phi ({\eta _a}) \cdot \Phi ({\eta _b}) < 0 \Rightarrow \exists {\eta _c} \in [{\eta _a},{\eta _b}]:\Phi ({\eta _c}) = 0</math>.В качестве функции <math>\Phi (\eta )</math> будем рассматривать: <br> | Перейдем к обсуждению результатов, полученных при учете гидродинамики внутриглазной жидкости. В данном случае мы используем размерное время (в секундах) при построении уравнения равновесия и выражения для радиальной компоненты тензора напряжений в связи с тем, что в граничном условии для перемещений присутствует интеграл по времени. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры в данном случае входит в решаемые уравнения в явном виде, а его величину необходимо задавать в качестве известного параметра при численных вычислениях. Для определения оптимального значения коэффициента сдвиговой вязкости воспользуемся методом бисекции, основанном на первой теореме Больцано – Коши: <math>\Phi (\eta ) \in C[{\eta _a},{\eta _b}],\Phi ({\eta _a}) \cdot \Phi ({\eta _b}) < 0 \Rightarrow \exists {\eta _c} \in [{\eta _a},{\eta _b}]:\Phi ({\eta _c}) = 0</math>.В качестве функции <math>\Phi (\eta )</math> будем рассматривать: <br> | ||
<math>\Phi \left( \eta \right) = \left( {IO{P_{\exp eriment(\dim )}} - \left( { - {{\left. {{\sigma _{xx}}} \right|}_{x = \beta }}} \right)} \right)\left| {_{t = {t_{{\rm{experiment}}}}}} \right..</math><br> | <math>\Phi \left( \eta \right) = \left( {IO{P_{\exp eriment(\dim )}} - \left( { - {{\left. {{\sigma _{xx}}} \right|}_{x = \beta }}} \right)} \right)\left| {_{t = {t_{{\rm{experiment}}}}}} \right..</math><br> | ||
Строка 107: | Строка 111: | ||
|- | |- | ||
|ВГД=4533 Па, t=120 с | |ВГД=4533 Па, t=120 с | ||
− | |<math>\eta = 57.1 | + | | <math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 57.1 | + | |<math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 57.1 | + | |<math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=3466 Па, t=300 с | |ВГД=3466 Па, t=300 с | ||
− | |<math>\eta = 58.6 | + | |<math>\eta = 58.6 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 59.1 | + | |<math>\eta = 59.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 58.3 | + | |<math>\eta = 58.3 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=2800 Па, t=500 с | |ВГД=2800 Па, t=500 с | ||
− | |<math>\eta = 33.8 | + | |<math>\eta = 33.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 35.3 | + | |<math>\eta = 35.3 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 33.0 | + | |<math>\eta = 33.0 МПа\cdot с</math> |
|} | |} | ||
[[Файл:Plots Zak Pa.png|400px|thumb|right|]] | [[Файл:Plots Zak Pa.png|400px|thumb|right|]] | ||
− | Функции зависимости ВГД от времени представлены на рисунке справа. Кривые релаксации напряжений, построенные при использовании трех различных численных методов, совпадают при указанном на рисунке масштабе. При построении графиков мы использовали метод Закиана и соответствующие ему значения коэффициента сдвиговой вязкости. Как видно из | + | Функции зависимости ВГД от времени представлены на рисунке справа. Кривые релаксации напряжений, построенные при использовании трех различных численных методов, совпадают при указанном на рисунке масштабе. Несущественное расхождение можно наблюдать при обработке данных, полученных для последней точки в связи с тем, что разница в полученных значениях коэффициента сдвиговой вязкости чуть больше, чем разница между значениями, полученными для второй и третьей экспериментальных точек. При построении графиков мы использовали метод Закиана и соответствующие ему значения коэффициента сдвиговой вязкости. При этом стоит отметить, что в связи с небольшой разницей между значением, полученным для второй точки, и значением, полученным для третьей точки, мы использовали среднюю величину коэффициента сдвиговой вязкости, вычисленную для двух данных точек. |
− | Сравнивая результаты, полученные при двух типах граничного условия для перемещений на внутреннем радиусе, мы можем отметить, что значение коэффициента сдвиговой вязкости склеры меньше в случае, когда объем глаза предполагается фиксированным на протяжении времени проведения эксперимента. | + | Как видно из рис. 8, значение коэффициента сдвиговой вязкости склеры влияет на характер спада кривой, соответствующей релаксации напряжений. При большем коэффициенте сдвиговой вязкости наблюдается более продолжительная релаксация напряжений. Точка, соответствующая значению ВГД непосредственно после инъекции, не зависит от значения коэффициента сдвиговой вязкости. В случае, когда коэффициент сдвиговой вязкости равен нулю, что соответствует отсутствию вязкостных свойств склеры в рамках принятой модели, теория не достаточно удовлетворительно описывает эксперимент. Это означает, что релаксацию напряжений после введения интравитреальной инъекции нельзя объяснить только наличием оттока внутриглазной жидкости. <br> |
− | + | Сравнивая результаты, полученные при двух типах граничного условия для перемещений на внутреннем радиусе, мы можем отметить, что значение коэффициента сдвиговой вязкости склеры меньше в случае, когда объем глаза предполагается фиксированным на протяжении времени проведения эксперимента. Подобный результат может объясняться тем, что при данной постановке задачи теория не может учесть все экспериментальные точки. Иными словами, теоретические вычисления не могут привести к такому значению коэффициента сдвиговой вязкости склеры, при котором спад ВГД будет качественно соответствовать экспериментальному. Как мы можем убедиться в том, что необходимо принимать во внимание оба фактора: и наличие вязкости склеры, и учет интенсивного оттока внутриглазной жидкости из нагруженного глаза, - для лучшего удовлетворения теорией экспериментальных данных. <br> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <br> | ||
==Выводы== | ==Выводы== |