Редактирование: Вязкоупругая модель склеральной оболочки глаза
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 41: | Строка 41: | ||
<math>{\sigma _{xx}}(\tau )\left| {_{x = 1}} \right. = 0\;,\;\; u(\tau )\left| {_{x = \beta }} \right. = {u_0}H(\tau ),</math><br> | <math>{\sigma _{xx}}(\tau )\left| {_{x = 1}} \right. = 0\;,\;\; u(\tau )\left| {_{x = \beta }} \right. = {u_0}H(\tau ),</math><br> | ||
где <math>{u_0} \approx \dfrac{{\Delta V}}{{4\pi {R_2}R_1^2}}</math>, <math>H(\tau)</math> - единичная степенная функция Хевисайда.<br> | где <math>{u_0} \approx \dfrac{{\Delta V}}{{4\pi {R_2}R_1^2}}</math>, <math>H(\tau)</math> - единичная степенная функция Хевисайда.<br> | ||
− | + | Во втором типе граничного условия на внутреннем радиусе учитывается гидродинамика внутриглазной жидкости, в частности, более интенсивный отток внутриглазной жидкости из нагруженного глаза. Для определения величины изменения объема глазного яблока, обусловленного притоком и оттоком внутриглазной жидкости, обратимся к методу тонографии. Данный метод оперирует скоростью изменения объема глазного яблока. Текущий объем глаза определяется следующим образом: <br> | |
<math>V(t) = V(0)+\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t} = V_0^{eye} + \Delta V + \int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t}.</math><br> | <math>V(t) = V(0)+\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t} = V_0^{eye} + \Delta V + \int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t}.</math><br> | ||
Изменение объема глаза, вызванное гидродинамикой внутриглазной жидкости: <math>V(t) - V(0) = V(t) - V_0^{eye} - \Delta V = 4\pi R_{inj}^2{u_r}(t),</math> где <math>{R_{inj}} = \sqrt[3]{{R_1^3 + \dfrac{{3\Delta V}}{{4\pi }}}}.</math> Граничные условия задаются следующим образом: <br> | Изменение объема глаза, вызванное гидродинамикой внутриглазной жидкости: <math>V(t) - V(0) = V(t) - V_0^{eye} - \Delta V = 4\pi R_{inj}^2{u_r}(t),</math> где <math>{R_{inj}} = \sqrt[3]{{R_1^3 + \dfrac{{3\Delta V}}{{4\pi }}}}.</math> Граничные условия задаются следующим образом: <br> | ||
− | <math>{\sigma _{xx}}\left( t \right)\left| {_{x = 1}} \right. = 0,u\left( t \right)\left| {_{x = \beta }} \right. = {u_0} + \dfrac{{\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V\left( {\tilde t} \right)d\tilde t} }}{{4\pi {R_2}R_{inj}^2}} | + | <math>{\sigma _{xx}}\left( t \right)\left| {_{x = 1}} \right. = 0,u\left( t \right)\left| {_{x = \beta }} \right. = {u_0} + \dfrac{{\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V\left( {\tilde t} \right)d\tilde t} }}{{4\pi {R_2}R_{inj}^2}}</math><br> |
Дальнейшее использование безразмерного времени затруднительно, поскольку в граничном условии на внутреннем радиусе присутствует интеграл по времени. Для определения величины <math>\int_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t}</math> воспользуемся данными тонографии - метода измерения и регистрации ВГД, позволяющего определить интенсивность оттока внутриглазной жидкости. В рамках данного метода предполагается, что скорость изменения объема глазного яблока зависит от скоростей притока и оттока внутриглазной жидкости. При этом получается, что интересующий нас интеграл определяется следующим образом:<br> | Дальнейшее использование безразмерного времени затруднительно, поскольку в граничном условии на внутреннем радиусе присутствует интеграл по времени. Для определения величины <math>\int_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V(\tilde t)d\tilde t}</math> воспользуемся данными тонографии - метода измерения и регистрации ВГД, позволяющего определить интенсивность оттока внутриглазной жидкости. В рамках данного метода предполагается, что скорость изменения объема глазного яблока зависит от скоростей притока и оттока внутриглазной жидкости. При этом получается, что интересующий нас интеграл определяется следующим образом:<br> | ||
<math>\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V\left( {\tilde t} \right)d\tilde t} = \int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\left( {F\left( {\tilde t} \right) - R\left( {\tilde t} \right)} \right)d\tilde t},</math><br> | <math>\int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\dot V\left( {\tilde t} \right)d\tilde t} = \int\limits_{\tilde t = 0}^{\tilde t = t} {\left( {F\left( {\tilde t} \right) - R\left( {\tilde t} \right)} \right)d\tilde t},</math><br> | ||
где <math>F, R</math> - скорости притока и оттока внутриглазной жидкости соответственно.<br> | где <math>F, R</math> - скорости притока и оттока внутриглазной жидкости соответственно.<br> | ||
− | Величина оттока определяется следующим гидравлическим соотношением: <math>R = C\left( {P - {P_e}} \right),</math> где <math>C</math> - коэффициент легкости оттока внутриглазной жидкости, <math>P</math> - аппроксимирующая функция ВГД, <math>{P_e}</math> - давление в эписклеральных венах. Основная задача тонографии состоит в том, чтобы оценить величину коэффициента легкости оттока. При стандартной обработке данных тонографии данная величина оценивается на основе представления тонограммы линейной функцией, причем для обработки используются только начальная и конечная точки тонограммы. В работе Г. Любимова предложен модифицированный алгоритм обработки данных тонографического исследования, предусматривающий оценку тонографической кривой, основанную на использовании не только начального и конечного значений ВГД, но и его промежуточных значений. При этом рассматривается несколько схем обработки данных | + | Величина оттока жидкости определяется следующим гидравлическим соотношением: <math>R = C\left( {P - {P_e}} \right),</math> где <math>C</math> - коэффициент легкости оттока внутриглазной жидкости, <math>P</math> - аппроксимирующая функция ВГД, <math>{P_e}</math> - давление в эписклеральных венах. Основная задача тонографии состоит в том, чтобы оценить величину коэффициента легкости оттока. При стандартной обработке данных тонографии данная величина оценивается на основе представления тонограммы линейной функцией, причем для обработки используются только начальная и конечная точки тонограммы. В работе Г. Любимова предложен модифицированный алгоритм обработки данных тонографического исследования, предусматривающий оценку тонографической кривой, основанную на использовании не только начального и конечного значений ВГД, но и его промежуточных значений. При этом рассматривается несколько схем обработки данных тонографии. При стандартной схеме делаются следующие предположения: <math>{P_e} - {P_{e0}} = 1.25</math>, <math>C = {C_0} = const</math>, <math>F = {F_0} = const, </math> где индекс "0" соответствует параметрам в ненагруженном состоянии.<br> При 1-ой модифицированной схеме делаются следующие предположения: <math>{P_e} - {P_{e0}} = 1.25</math>, при этом <math>F = {R_{st}} \ne {F_0}</math>. При 2-ой модифицированной схеме делаются следующие предположения: <math>F = {R_{st}} = {F_0}</math>, при этом <math>{P_e} - {P_{e0}} \ne 1.25</math>.<br> |
'''Метод преобразования Лапласа'''<br> | '''Метод преобразования Лапласа'''<br> | ||
Для получения решения для перемещений и радиальных напряжений воспользуемся методом преобразования Лапласа, связывающим функцию <math>f\left( {x,\tau } \right)</math> действительного переменного (оригинал), с функцией <math>\bar f\left( {x,s} \right)</math> комплексного переменного (изображением). Изображение функции - оригинала по Лапласу определяется следующим выражением:<br> | Для получения решения для перемещений и радиальных напряжений воспользуемся методом преобразования Лапласа, связывающим функцию <math>f\left( {x,\tau } \right)</math> действительного переменного (оригинал), с функцией <math>\bar f\left( {x,s} \right)</math> комплексного переменного (изображением). Изображение функции - оригинала по Лапласу определяется следующим выражением:<br> | ||
Строка 61: | Строка 61: | ||
'''Численные алгоритмы обратного преобразования Лапласа'''<br> | '''Численные алгоритмы обратного преобразования Лапласа'''<br> | ||
Для определения оригиналов функций перемещений и радиальных напряжений необходимо воспользоваться формулой обращения (интегралом Бромвича) – формулой обратного преобразования Лапласа. Она имеет следующий вид: <br> | Для определения оригиналов функций перемещений и радиальных напряжений необходимо воспользоваться формулой обращения (интегралом Бромвича) – формулой обратного преобразования Лапласа. Она имеет следующий вид: <br> | ||
− | <math>f(x,\tau ) = \ | + | <math>f(x,\tau ) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_C {\bar f(x,s)} \exp (s\tau )ds,\tau > 0,</math><br> |
где <math>C</math> - контур от <math>c - i\infty</math> до <math>c + i\infty</math><br> | где <math>C</math> - контур от <math>c - i\infty</math> до <math>c + i\infty</math><br> | ||
Применим данное обращение к найденным изображениям функций перемещений и напряжений. Для трансверсально – изотропного случая найденные функции имеют сложную зависимость от набора параметров и, в связи с этим, получение аналитического решения на основе интеграла Бромовича не представляется возможным. Обратимся к численным методам обратного преобразования Лапласа. При решении задачи в рамках данного численного подхода применяется квадратурная формула типа Гаусса: <br> | Применим данное обращение к найденным изображениям функций перемещений и напряжений. Для трансверсально – изотропного случая найденные функции имеют сложную зависимость от набора параметров и, в связи с этим, получение аналитического решения на основе интеграла Бромовича не представляется возможным. Обратимся к численным методам обратного преобразования Лапласа. При решении задачи в рамках данного численного подхода применяется квадратурная формула типа Гаусса: <br> | ||
<math>f(x,\tau) \approx {f_n}(x,\tau ) \equiv {f_{n,a,K}}(x,\tau ) = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{j = 1}^n {{K_j}\bar f} (x,\frac{{{a_j}}}{\tau }),</math><br> | <math>f(x,\tau) \approx {f_n}(x,\tau ) \equiv {f_{n,a,K}}(x,\tau ) = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{j = 1}^n {{K_j}\bar f} (x,\frac{{{a_j}}}{\tau }),</math><br> | ||
− | где <math>\bf {a},\,\bf {K}</math> - векторы, называемые узлами | + | где <math>\bf {a},\,\bf {K}</math> - векторы, называемые весами и узлами соответственно. <br> |
− | Данное выражение можно получить из интеграла Бромовича путем разложения экспоненциальной функции в ряд Маклорена и дальнейшего применения аппроксимации Паде к полученной таким образом степенной функции. Существует несколько алгоритмов определения весов и узлов квадратурной формулы. Одним из наиболее известных | + | Данное выражение можно получить из интеграла Бромовича путем разложения экспоненциальной функции в ряд Маклорена и дальнейшего применения аппроксимации Паде к полученной таким образом степенной функции. Существует несколько алгоритмов определения весов и узлов квадратурной формулы. Одним из наиболее известных алгоритмво является алгоритма Закина, используемая при этом квадратурная формула выражается следующим образом: <math>f_{n,a,K}^{Zakian}(x,\tilde \tilde \tau ) = 2{f_{n,a,K}}(x,\tilde \tilde \tau )</math>. В качестве альтернативных алгоритмов мы рассмотрим алгоритмы Джеффресона и Чоу для 10 и 15 членов разложения ряда в квадратурной формуле, задающей преобразование Лапласа.<br> |
==Результаты исследования== | ==Результаты исследования== |