Редактирование: Вычисление упругих характеристик кристаллических решеток графена и алмаза с применением многочастичных потенциалов
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 3: | Строка 3: | ||
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). | ||
− | В данной работе вычисление модулей | + | В данной работе вычисление упругих модулей кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) [1] с применением многочастичного потенциала Терсоффа [2], [3], Терсоффа-Бреннера [4], [5], а также потенциала Бреннера второго поколения [8]. |
* Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] | * Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] | ||
* Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] | * Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] | ||
− | == Аналитическое вычисление модулей | + | == Аналитическое вычисление упругих модулей == |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
| 426 | | 426 | ||
− | | | + | | 619 |
− | | | + | | 1339 |
− | | | + | | -31 |
|- | |- | ||
| Бреннер | | Бреннер | ||
Строка 62: | Строка 62: | ||
|} | |} | ||
− | == | + | == Описание компьютерного эксперимента == |
На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии. | На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии. | ||
Строка 94: | Строка 94: | ||
Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой | Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой | ||
− | + | описание вычислительного процесса в целом и включает в себя определение начальных | |
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной | параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной | ||
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и | конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и | ||
− | скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, | + | скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, описание вычислительного |
− | + | процесса в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и | |
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет | получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет | ||
− | собой | + | собой описание одного шага интегрирования по времени. Результатом этой части |
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома | вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома | ||
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе | системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе | ||
Строка 111: | Строка 111: | ||
один атом. | один атом. | ||
− | На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам | + | На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам [6]: |
<math> | <math> | ||
Строка 146: | Строка 146: | ||
<math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>. | <math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>. | ||
− | При этом модули | + | При этом упругие модули выражаются через эти коэффициенты по формулам: |
<math> | <math> | ||
Строка 166: | Строка 166: | ||
<math> \begin{array}{l} | <math> \begin{array}{l} | ||
\sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad | \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad | ||
+ | % | ||
\sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ | \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ | ||
+ | % | ||
\sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ | \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ | ||
+ | % | ||
\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad | \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad | ||
+ | % | ||
\tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad | \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad | ||
+ | % | ||
\tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. | \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Упругие модули выражаются по формулам: | |
<math> | <math> | ||
\nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | ||
+ | % | ||
E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad | E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad | ||
+ | % | ||
K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}). | K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}). | ||
</math> | </math> | ||
Строка 205: | Строка 212: | ||
Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем, | Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем, | ||
равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2. | равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2. | ||
+ | |||
+ | == Квазистатическое вычисление упругих модулей == | ||
+ | |||
+ | [[Правильная формулировка?]] | ||
+ | |||
+ | В результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Строка 213: | Строка 226: | ||
| Е,<BR> Н / м | | Е,<BR> Н / м | ||
| nu | | nu | ||
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> Н / м |
− | | | + | | C_12,<BR> Н / м |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
Строка 245: | Строка 258: | ||
| Е,<BR> ГН / м^2 | | Е,<BR> ГН / м^2 | ||
| nu | | nu | ||
− | | | + | | G = C_44,<BR> ГН / м^2 |
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2 |
− | | | + | | C_12,<BR> ГН / м^2 |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
Строка 274: | Строка 287: | ||
|} | |} | ||
− | == Динамическое вычисление модулей | + | == Динамическое вычисление упругих модулей == |
− | Для вычисления модулей | + | Для вычисления упругих модулей графена динамическим способом находится период |
гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается | гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается | ||
синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний: | синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний: | ||
Строка 318: | Строка 331: | ||
</math> | </math> | ||
− | Для гармонических колебаний вдоль оси <math>OX_1</math> с длиной волны <math>l = 219.8 \mbox{ | + | Для гармонических колебаний вдоль оси <math>OX_1</math> с длиной волны <math>l = 219.8 \mbox{\AA}</math> |
(50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода | (50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода | ||
продольных колебаний <math>24.68 \pm 0.01</math> и периода поперечных колебаний <math>32.36 \pm 0.01</math>. | продольных колебаний <math>24.68 \pm 0.01</math> и периода поперечных колебаний <math>32.36 \pm 0.01</math>. | ||
В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в | В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в | ||
прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены. | прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены. | ||
− | Для колебаний вдоль оси <math>OX_2</math> с длиной волны <math>l = 253.8 \mbox{ | + | Для колебаний вдоль оси <math>OX_2</math> с длиной волны <math>l = 253.8 \mbox{\AA}</math> (100 |
ячеек периодичности) период продольных колебаний составил <math>28.50 \pm 0.01</math>, период | ячеек периодичности) период продольных колебаний составил <math>28.50 \pm 0.01</math>, период | ||
− | поперечных колебаний <math>37.36 \pm 0.01</math>. В результате модули | + | поперечных колебаний <math>37.36 \pm 0.01</math>. В результате упругие модули получили значения, приведенные в таблицах 3, 4. |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Строка 375: | Строка 388: | ||
|- | |- | ||
| Бреннер | | Бреннер | ||
− | | <math> | + | | <math>590 \pm 18</math> |
− | | <math> | + | | <math>361 \pm 2</math> |
|- | |- | ||
| Бреннер2 | | Бреннер2 | ||
− | | <math> | + | | <math>1021 \pm 9</math> |
− | | <math> | + | | <math>683 \pm 1</math> |
|} | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
− | + | [1] А.М.Кривцов, И.Б.Волковец, П.В.Ткачев, В.А.Цаплин, Применение метода динамики | |
+ | частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Математика. Механика. | ||
+ | Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. --- М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. | ||
+ | 361---377 | ||
− | + | [2] J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system | |
− | + | // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991-6999 | |
− | |||
− | |||
− | + | [3] Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations | |
− | + | of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79-105 | |
− | + | [4] D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the | |
− | + | Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458-9471. | |
− | |||
− | + | [5] C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum | |
− | of | + | elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864-870. |
− | + | [6] А.М.Кривцов, Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой, М: ФИЗМАТЛИТ, | |
− | + | 2007, 304 с. | |
− | |||
− | + | [7] J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous | |
− | + | Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879-2882. | |
− | + | [8] D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot. | |
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for | A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for | ||
− | hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), | + | hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783-802. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
[[Category: Проект "Кристалл"]] | [[Category: Проект "Кристалл"]] |