Редактирование: Вычисление упругих характеристик кристаллических решеток графена и алмаза с применением многочастичных потенциалов
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 3: | Строка 3: | ||
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). | ||
− | В данной работе вычисление модулей | + | В данной работе вычисление упругих модулей кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) [1] с применением многочастичного потенциала Терсоффа [2], [3], Терсоффа-Бреннера [4], [5], а также потенциала Бреннера второго поколения [8]. |
* Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] | * Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] | ||
* Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] | * Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] | ||
− | == Аналитическое вычисление модулей | + | == Аналитическое вычисление упругих модулей == |
− | + | [[Будет скоро добавлено]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | == | + | == Описание компьютерного эксперимента == |
На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии. | На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии. | ||
Строка 94: | Строка 44: | ||
Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой | Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой | ||
− | + | описание вычислительного процесса в целом и включает в себя определение начальных | |
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной | параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной | ||
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и | конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и | ||
− | скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, | + | скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, описание вычислительного |
− | + | процесса в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и | |
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет | получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет | ||
− | собой | + | собой описание одного шага интегрирования по времени. Результатом этой части |
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома | вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома | ||
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе | системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе | ||
Строка 111: | Строка 61: | ||
один атом. | один атом. | ||
− | На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам | + | На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам [6]: |
<math> | <math> | ||
Строка 146: | Строка 96: | ||
<math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>. | <math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>. | ||
− | При этом модули | + | При этом упругие модули выражаются через эти коэффициенты по формулам: |
<math> | <math> | ||
Строка 161: | Строка 111: | ||
В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости | В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости | ||
определяются через следующие выражения: | определяются через следующие выражения: | ||
− | |||
− | |||
<math> \begin{array}{l} | <math> \begin{array}{l} | ||
\sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad | \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad | ||
+ | % | ||
\sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ | \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ | ||
+ | % | ||
\sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ | \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ | ||
+ | % | ||
\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad | \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad | ||
+ | % | ||
\tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad | \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad | ||
+ | % | ||
\tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. | \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Упругие модули выражаются по формулам: | |
<math> | <math> | ||
\nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | ||
+ | % | ||
E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad | E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad | ||
+ | % | ||
K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}). | K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}). | ||
</math> | </math> | ||
Строка 202: | Строка 157: | ||
| <math>r_8 (3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})</math>. | | <math>r_8 (3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})</math>. | ||
|} | |} | ||
+ | |||
+ | [[Файл:vtsaplin_pic3.png|thumb]] | ||
Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем, | Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем, | ||
равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2. | равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2. | ||
+ | |||
+ | == Квазистатическое вычисление упругих модулей == | ||
+ | |||
+ | [[Правильная формулировка?]] | ||
+ | |||
+ | В результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Строка 213: | Строка 176: | ||
| Е,<BR> Н / м | | Е,<BR> Н / м | ||
| nu | | nu | ||
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> Н / м |
− | | | + | | C_12,<BR> Н / м |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
Строка 245: | Строка 208: | ||
| Е,<BR> ГН / м^2 | | Е,<BR> ГН / м^2 | ||
| nu | | nu | ||
− | | | + | | G = C_44,<BR> ГН / м^2 |
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2 |
− | | | + | | C_12,<BR> ГН / м^2 |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
Строка 274: | Строка 237: | ||
|} | |} | ||
− | == Динамическое вычисление модулей | + | == Динамическое вычисление упругих модулей == |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Для вычисления упругих модулей динамическим способом находится период гармонических колебаний кристаллической решетки c заданной длиной волны. Рассматриваются два вида колебаний: продольные и поперечные. | |
− | + | В результате упругие модули получили значения, приведенные в таблицах 3, 4. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Строка 334: | Строка 250: | ||
| Е,<BR> Н / м | | Е,<BR> Н / м | ||
| nu | | nu | ||
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> Н / м |
− | | | + | | C_12,<BR> Н / м |
− | | | + | | G = C_44,<BR> Н / м |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
Строка 367: | Строка 283: | ||
|- | |- | ||
| Потенциал | | Потенциал | ||
− | | | + | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2 |
− | | | + | | G = C_44,<BR> ГН / м^2 |
|- | |- | ||
| Терсофф | | Терсофф | ||
− | | | + | | 1018 |
− | | | + | | 610.7 |
|- | |- | ||
| Бреннер | | Бреннер | ||
− | | | + | | 590 |
− | | | + | | 361 |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
|} | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
[[Category: Проект "Кристалл"]] | [[Category: Проект "Кристалл"]] |