| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 3: |
Строка 3: |
| | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). | | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита). |
| | | | |
| − | В данной работе вычисление модулей упругости кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) <ref name="RFBR" /> с применением многочастичного [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | потенциала Терсоффа]] <ref name="Tersoff1" /> <ref name="Tersoff2" /> <ref name="Erkoc" />, [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | Терсоффа-Бреннера]] <ref name="Brenner1" /> <ref name="Reddy" />, а также [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | потенциала Бреннера второго поколения]] <ref name="Brenner2" />. | + | В данной работе вычисление упругих модулей кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) [1] с применением многочастичного потенциала Терсоффа [2], [3], Терсоффа-Бреннера [4], [5], а также потенциала Бреннера второго поколения [8]. |
| | | | |
| | * Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] | | * Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]] |
| | * Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] | | * Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]] |
| | | | |
| − | == Аналитическое вычисление модулей упругости == | + | == Аналитическое вычисление упругих модулей == |
| | | | |
| − | {| class="wikitable"
| + | [[Будет скоро добавлено]] |
| − | ! colspan="6"| Таблица 1. Результаты вычислений для решетки графена
| |
| − | |-
| |
| − | | Потенциал
| |
| − | | K,<BR> Н / м
| |
| − | | Е,<BR> Н / м
| |
| − | | nu
| |
| − | |-
| |
| − | | Терсофф
| |
| − | | 176
| |
| − | | 407
| |
| − | | -0.158
| |
| − | |-
| |
| − | | Бреннер
| |
| − | | 201
| |
| − | | 236
| |
| − | | 0.412
| |
| − | |-
| |
| − | | Бреннер 2
| |
| − | | 201
| |
| − | | 243
| |
| − | | 0.397
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {| class="wikitable"
| |
| − | ! colspan="7"| Таблица 2: Результаты вычислений для решетки алмаза
| |
| − | |-
| |
| − | | Потенциал
| |
| − | | K,<BR> ГН / м^2
| |
| − | | G = C_44,<BR> ГН / м^2
| |
| − | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2
| |
| − | | C_12,<BR> ГН / м^2
| |
| − | |-
| |
| − | | Терсофф
| |
| − | | 426
| |
| − | | 597
| |
| − | | 1132
| |
| − | | 72.5
| |
| − | |-
| |
| − | | Бреннер
| |
| − | | 484
| |
| − | | 245
| |
| − | | 664
| |
| − | | 395
| |
| − | |-
| |
| − | | Бреннер 2
| |
| − | | 442
| |
| − | | 670
| |
| − | | 1123
| |
| − | | 101
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | == Квазистатическое вычисление модулей упругости ==
| |
| − | | |
| − | На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии.
| |
| − | При этом задается либо растяжение вдоль двух осей симметрии решетки (рис. 1),
| |
| − | либо сдвиговая деформация вдоль одной из осей. На этом этапе решается динамическая задача
| |
| − | достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
| |
| − | радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
| |
| − | ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
| |
| − | во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости
| |
| − | вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
| |
| − | | |
| − | <math>\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,</math>
| |
| − | | |
| − | где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
| |
| − | вычисляется через приложенную к частице силу.
| |
| − | | |
| − | Для нахождения силы, приложенной к одной частице, рассматриваемая область разбивается
| |
| − | на квадратные ячейки со стороной, не меньшей <math>R + D</math>. Рассматриваются все
| |
| − | частицы, находящиеся в одной ячейке, либо в соседних ячейках к ячейке, где находится
| |
| − | частица, для которой вычисляется приложенная сила.
| |
| − | | |
| − | Колебания атомов гасятся введением коэффициента трения
| |
| − | в уравнения движения. При этом достигается однородное деформированное состояние со
| |
| − | значениями <math>\varepsilon_{11} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_1</math>), и
| |
| − | <math>\varepsilon_{22} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_2</math>). При вычислении используется
| |
| − | несколько ячеек периодичности и ставятся периодические граничные условия.
| |
| − | | |
| − | [[Файл:vtsaplin_pic2.png|thumb]] | |
| − | | |
| − | Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой
| |
| − | вычислительный процесс в целом и включает в себя определение начальных
| |
| − | параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной
| |
| − | конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и
| |
| − | скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, вычислительный
| |
| − | процесс в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и
| |
| − | получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет
| |
| − | собой один шаг интегрирования по времени. Результатом этой части
| |
| − | вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома
| |
| − | системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе
| |
| − | рассматриваемой прямоугольной области. Шаг интегрирования по времени состоит из
| |
| − | определения скоростей атомов при учете действующих сил на каждый атом системы, а также
| |
| − | определение приращений перемещений атомов системы. Третья часть вычислительного процесса
| |
| − | представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
| |
| − | соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного
| |
| − | слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на
| |
| − | один атом.
| |
| − | | |
| − | На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам <ref name="Krivtsoff1" />:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
| |
| − | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
| |
| − | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | иначе
| |
| | | | |
| − | <math>
| + | == Квазистатическое вычисление упругих модулей == |
| − | {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
| |
| − | \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}
| |
| − | (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij}
| |
| − | </math>
| |
| | | | |
| − | Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
| + | [[Правильная формулировка?]] |
| − | <math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности (в двумерной
| |
| − | постановке – площадь). <math>\underline{F}_{\alpha}^i</math> – векторный коэффициент, равный
| |
| − | <math>\displaystyle 2 \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер
| |
| − | соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
| |
| − | положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
| |
| − | где <math>\underline{r}_i</math>
| |
| − | – радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
| |
| − | частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь, см. [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциал Терсофа]].
| |
| | | | |
| − | В двумерной постановке (графен) коэффициенты упругости вычисляются с помощью соотношений | + | В результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления. |
| − | между компонентами напряжений и деформаций:
| |
| − | | |
| − | <math>\sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22},\quad</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{22} \varepsilon_{22},\quad</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>.
| |
| − | | |
| − | При этом модули упругости выражаются через эти коэффициенты по формулам:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11}},\quad
| |
| − | E = \frac{C_{11}^2 - C_{12}^2}{C_{11}},\quad
| |
| − | K = \frac{1}{2}(C_{11} + C_{12}).
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Здесь <math>\nu</math> – коэффициент Пуассона, <math>E</math> – модуль Юнга, <math>K</math> – коэффициент объемного сжатия.
| |
| − | | |
| − | В результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в
| |
| − | таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления. | |
| − | | |
| − | В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости
| |
| − | определяются через следующие выражения:
| |
| − | | |
| − | [[Файл:vtsaplin_pic3.png|thumb]]
| |
| − | | |
| − | <math> \begin{array}{l}
| |
| − | \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
| |
| − | \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
| |
| − | \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
| |
| − | \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
| |
| − | \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
| |
| − | \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
| |
| − | \end{array}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Модули упругости выражаются по формулам:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
| |
| − | E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad
| |
| − | K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}).
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Ячейка периодичности кристаллической решетки алмаза представляет собой куб с гранью <math>4
| |
| − | a_d / \sqrt{3}</math>, где <math>a_d</math> – межатомное расстояние кристаллической решетки алмаза в
| |
| − | равновесном состоянии.
| |
| − | | |
| − | На одну ячейку периодичности приходится 8 атомов углерода (рис. 2), координаты которых
| |
| − | в осях, параллельных ребрам куба имеют вид:
| |
| − | | |
| − | {| class="wikitable"
| |
| − | | <math>r_1 (0, 0, 0)</math>,
| |
| − | | <math>r_2 (a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})</math>,
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>r_3 (0, 2 a_d / \sqrt{3}, 2 a_d / \sqrt{3})</math>,
| |
| − | | <math>r_4 (a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3})</math>,
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>r_5 (2 a_d / \sqrt{3}, 0, 2 a_d / \sqrt{3})</math>,
| |
| − | | <math>r_6 (3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3})</math>,
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>r_7 (2 a_d / \sqrt{3}, 2 a_d / \sqrt{3}, 0)</math>,
| |
| − | | <math>r_8 (3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})</math>.
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем,
| |
| − | равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2.
| |
| | | | |
| | {| class="wikitable" | | {| class="wikitable" |
| Строка 213: |
Строка 25: |
| | | Е,<BR> Н / м | | | Е,<BR> Н / м |
| | | nu | | | nu |
| − | | <math>C_{11} = C_{22}</math>,<BR> Н / м | + | | C_11 = C_22,<BR> Н / м |
| − | | <math>C_{12}</math>,<BR> Н / м | + | | C_12,<BR> Н / м |
| | |- | | |- |
| | | Терсофф | | | Терсофф |
| Строка 245: |
Строка 57: |
| | | Е,<BR> ГН / м^2 | | | Е,<BR> ГН / м^2 |
| | | nu | | | nu |
| − | | <math>G = C_{44}</math>,<BR> ГН / м^2 | + | | G = C_44,<BR> ГН / м^2 |
| − | | <math>C_{11} = C_{22}</math>,<BR> ГН / м^2 | + | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2 |
| − | | <math>C_{12}</math>,<BR> ГН / м^2 | + | | C_12,<BR> ГН / м^2 |
| | |- | | |- |
| | | Терсофф | | | Терсофф |
| Строка 274: |
Строка 86: |
| | |} | | |} |
| | | | |
| − | == Динамическое вычисление модулей упругости == | + | == Динамическое вычисление упругих модулей == |
| | | | |
| − | Для вычисления модулей упругости графена динамическим способом находится период | + | Для вычисления упругих модулей динамическим способом находится период гармонических колебаний кристаллической решетки c заданной длиной волны. Рассматриваются два вида колебаний: продольные и поперечные. |
| − | гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается | |
| − | синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний:
| |
| − | продольные и поперечные. В обоих случаях отношение пространственного и временного | |
| − | периода колебаний равно скорости распространения соответствующей бегущей волны. Если
| |
| − | <math>u_1, u_2</math> – компоненты вектора смещения частиц, зависящие от координаты <math>x_1</math>, что
| |
| − | соответствует распространению волны вдоль оси <math>OX_1</math>, то уравнение продольных колебаний
| |
| − | имеет вид:
| |
| | | | |
| − | <math>
| + | В результате упругие модули получили значения, приведенные в таблицах 3, 4. |
| − | C_{11} \partial_{11} u_1 = \rho \ddot{u}_1,
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | откуда следует выражение для скорости распространения волны:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | V^2 = \frac{C_{11}}{\rho} = \left(\frac{l}{T}\right)^2,
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | где <math>V</math> – скорость распространения волны, <math>\rho</math> – плотность среды, <math>l</math> – длина
| |
| − | волны, <math>T</math> – период колебаний.
| |
| − | | |
| − | Уравнение поперечных колебаний имеет вид:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | C_{44} \partial_{11} u_2 = \rho \ddot{u}_2,
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | соответствующее выражение для скорости: <math>\displaystyle V^2 = \frac{C_{44}}{\rho}</math>.
| |
| − | | |
| − | Аналогично, для волн вдоль оси <math>OX_2</math>:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | C_{22} \partial_{22} u_2 = \rho \ddot{u}_2, \quad
| |
| − | V^2 = \frac{C_{22}}{\rho}.
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | C_{44} \partial_{22} u_1 = \rho \ddot{u}_1, \quad
| |
| − | V^2 = \frac{C_{44}}{\rho}.
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Для гармонических колебаний вдоль оси <math>OX_1</math> с длиной волны <math>l = 219.8 \mbox{Å}</math>
| |
| − | (50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода
| |
| − | продольных колебаний <math>24.68 \pm 0.01</math> и периода поперечных колебаний <math>32.36 \pm 0.01</math>.
| |
| − | В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в
| |
| − | прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены.
| |
| − | Для колебаний вдоль оси <math>OX_2</math> с длиной волны <math>l = 253.8 \mbox{Å}</math> (100
| |
| − | ячеек периодичности) период продольных колебаний составил <math>28.50 \pm 0.01</math>, период
| |
| − | поперечных колебаний <math>37.36 \pm 0.01</math>. В результате модули упругости получили значения, приведенные в таблицах 3, 4.
| |
| | | | |
| | {| class="wikitable" | | {| class="wikitable" |
| Строка 334: |
Строка 99: |
| | | Е,<BR> Н / м | | | Е,<BR> Н / м |
| | | nu | | | nu |
| − | | <math>C_{11} = C_{22}</math>,<BR> Н / м | + | | C_11 = C_22,<BR> Н / м |
| − | | <math>C_{12}</math>,<BR> Н / м | + | | C_12,<BR> Н / м |
| − | | <math>G = C_{44}</math>,<BR> Н / м | + | | G = C_44,<BR> Н / м |
| | |- | | |- |
| | | Терсофф | | | Терсофф |
| Строка 367: |
Строка 132: |
| | |- | | |- |
| | | Потенциал | | | Потенциал |
| − | | <math>C_{11} = C_{22}</math>, ГН / м<math>^2</math> | + | | C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2 |
| − | | <math>G = C_{44}</math>, ГН / м<math>^2</math> | + | | G = C_44,<BR> ГН / м^2 |
| | |- | | |- |
| | | Терсофф | | | Терсофф |
| − | | <math>1018</math> | + | | 1018 |
| − | | <math>610.7</math> | + | | 610.7 |
| | |- | | |- |
| | | Бреннер | | | Бреннер |
| − | | <math>613.8 \pm 0.2</math> | + | | 590 |
| − | | <math>379.8 \pm 0.1</math> | + | | 361 |
| − | |-
| |
| − | | Бреннер2
| |
| − | | <math>1060.3 \pm 0.4</math>
| |
| − | | <math>711.5 \pm 0.3</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| − | == Приложение ==
| |
| − |
| |
| − | [[Таблицы параметров вычислительных экспериментов]]
| |
| − |
| |
| − | == Список литературы ==
| |
| − |
| |
| − | <references>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="RFBR">А.М.Кривцов, И.Б.Волковец, П.В.Ткачев, В.А.Цаплин, Применение метода динамики
| |
| − | частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Математика. Механика.
| |
| − | Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С.
| |
| − | 361–377 [[Медиа:RFBR.pdf |(1122 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Tersoff1">J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
| |
| − | // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999[[Медиа:tersoff-silicon(main).pdf | (2.50 Mb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Tersoff2">J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
| |
| − | Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882.
| |
| − | [[Медиа:tersoff-carbon.pdf | (708 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Erkoc">Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
| |
| − | of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105[[Медиа:Erkoc_1997.pdf | (937 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Brenner1">D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
| |
| − | Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471.
| |
| − | [[Медиа:brenner-phys-rev.pdf | (2.21 Mb)]] [[Медиа:brenner-errors.pdf | (Errata 102 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Reddy">C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
| |
| − | elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Brenner2">D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
| |
| − | A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
| |
| − | hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802.
| |
| − | [[Медиа:brenner2002.pdf | (144 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Krivtsoff1">А.М.Кривцов, Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой,
| |
| − | М: ФИЗМАТЛИТ, 2007, 304 с.</ref>
| |
| − |
| |
| − | </references>
| |
| | | | |
| | [[Category: Проект "Кристалл"]] | | [[Category: Проект "Кристалл"]] |
