А.М. Кривцов. Рабочие материалы по курсу "Теоретическая механика" — различия между версиями

Версия 14:22, 20 декабря 2022

Введение

• Теоретическая и рациональная механика.
• Механика и математика.
• Механика и другие науки.

Ссылки: Механика.

Глава 1. Основные понятия Механики

§1.1. Развитие механики

• 3 век до Н.Э.: Архимед. [1], [2]
• 16–17 века: Галилео Галилей. [3]
• 17–18 века: Исаак Ньютон. [4]
• 18 век: Леонард Эйлер. [5]

Ссылки: П.А. Жилин. Основные этапы развития механики.

§1.2. Механика в XXI веке

Достижения

• 2004 г. Графен.
• 2005 г. Эрида.
• 2010 г. Бурдж Халифа.
• 2012 г. Мост на о. Русский.

Антидостижения

• 2001 г. ВТЦ.
• 2003 г. Конкорд.
• 2011 г. Спейс Шаттл.

Ссылки: Механика в XXI веке

§1.3. О методе механики

• Рациональное построение.
• Уравнения баланса.
• Определяющие уравнения.
• Математические соотношения.

Конец лекции 1

§1.4. Основные понятия

Пространство

• Трехмерность.
• Однородность.
• Изотропность.

Время

• Одномерность.
• Однородность.
• Направленность.

Материальное тело

• Материальная точка (теоретическая механика).
• Твердое тело (теоретическая механика, динамика твердого тела).
• Деформируемое тело (механика сплошных сред).
• Тело с микроструктурой (механика дискретных сред).

Движение

• Относительность движения.

§1.5. Система отсчета

• Определение тела отсчета (ТО).
• Определение системы отсчета (СО).
• Определение системы координат.
• Различие между системой отсчета и системой координат.

§1.6. Скалярные, векторные и тензорные величины

• Скаляры.
• Векторы.
• Тензоры.

§1.7. Основные операции с векторами

• Скалярное произведение.
• Векторное произведение.
• Тензорное произведение.
• Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Конец лекции 2

• Двойные произведения.
• Полезные тождества.
• Дифференцирование векторных выражений.

§1.8. Векторный базис

• Определение 1. Линейная комбинация векторов.
• Определение 2. Линейная независимость векторов.
• Определение 3. Базис.
• Теорема. Разложение вектора по базису: существование и единственность. (Без доказательства).

§1.9. Ортонормированный базис

• Определение и обозначения.
• Операции с базисными векторами.
• Разложение произвольного вектора.
• Представление операций с векторами.

§1.10. Декартовы, полярные и цилиндрические координаты

• Преобразование координат.
• Базисные векторы.
• Представление векторов.

Глава 2. Кинематика материальной точки

§2.1. Радиус-вектор, скорость и ускорение

• Определения.
• Тождества.

Конец лекции 3

§2.2. Координатный способ задания движения

• Представление кинематических характеристик в Декартовом базисе.
• Полезные тождества.

§2.3. Естественный (траекторный) способ задания движения

• Определения: траектория, путь, перемещение.
• Естественный базис: (орты касательной, нормали и бинормали).
• Кривизна и радиус кривизны траектории.
• Представление скорости и ускорения в естественном базисе.
• Выражение радиуса кривизны через векторы скорости и ускорения.

§2.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

• Решение в векторном виде.
• Уравнение траектории.
• Определение характеристик траектории.
  • Максимальная дальность полета.
  • Максимальная высота полета.
  • Оптимальный угол броска.
  • Радиус кривизны в высшей точке.

Ссылки: страница задачи в Виртуальной лаборатории.

Конец лекции 4

§2.5. Равномерное и равноускоренное движение

• Равномерное движение.
  • Определение.
  • Траектория.
• Равноускоренное движение.
  • Определение.
  • Формулы.
  • Траектория.

§2.6. Движение по окружности

• Дифференцирование ортов полярной системы координат.
• Ускорение при движении по окружности.

§2.7. Задачи

• Скорость сближения.
• Задача о 3-х черепахах.
• Задача о собаке и лисице (кривая преследования).

Глава 3. Основы тензорной алгебры

§3.1. Определение тензора 2-го ранга

• Соотношения эквивалентности.
• Определение тензора 2-го ранга.

Конец лекции 5

• Линейные операции с тензорами.
• Нулевой и противоположный тензоры.

§3.2. Транспонирование тензора

§3.3. Тензоры высших рангов

§3.4. Умножения векторных и тензорных величин

§3.5. Свойства умножений

§3.6. Тензорный базис. Координаты тензора 2-го ранга.

§3.7. Единичный тензор. След тензора.

§3.8. Основные формулы координатно-тензорного представления.

§3.9. Векторный инвариант и сопутствующий вектор тензора. Тензор Леви-Чивита.

§3.10. Спектральное разложение тензора 2-го ранга, скалярные инварианты тензора.

§3.11. Обратный тензор.

§3.12. Примеры тензоров (проекторы, тензор жёсткости).

§3.13. Тензор поворота.

Глава 4. Кинематика твердого тела

§4.1. Основные кинематические характеристики: радиус-вектор и тензор поворота, угловая скорость.

§4.2. Скорости и ускорения точек твёрдого тела.

§4.3. Сложение угловых скоростей. Угловая скорость и ось поворота.

§4.4. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси.

§4.5. Плоское движение. Сферическое движение.

§4.6. Углы Эйлера.

§4.7. Кинематика сложного движения материальной точки.

§4.8. Кинематика сложного движения твёрдого тела. Выражение угловой скорости через углы Эйлера методом сложного движения.

Глава 5. Динамика материальной точки

§5.1. Принцип инерции Галилея

• Определение свободного тела.
• Определение инерциальной системы отсчета (ИСО).
• Формулировка принципа инерции Галилея.

§5.2. Законы Ньютона

• Первый закон Ньютона.
• Второй закон Ньютона.
• Третий закон Ньютона.

§5.3. Прямая и обратная задача механики

• Формулировка.
• Обратная задача, методы решения.
• Прямая задача, обобщенная формулировка и примеры.

§5.4. Пример: баллистическое движение

• Постановка задачи.
• Интегрирование уравнений движения.
• Приближенное решение при малом сопротивлении.

Подробнее...

§5.5. Пример: движение в центральном поле

• Постановка задачи.
• Первые интегралы.
• Сведение к квадратурам.
• Анализ случая силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Ссылки: страница задачи в Виртуальной лаборатории.

Глава 6. Динамика системы материальных точек.

§6.1. Центр масс.

§6.2. Закон изменения количества движения.

§6.3. Закон изменения кинетического момента.

§6.4. Кинетический момент относительно центра масс.

§6.5. Закон изменения кинетической энергии.

§6.6. Кинетическая энергия относительно центра масс.

§6.7. Основные формулы динамики системы материальных точек.

§6.8. Работа, потенциальная энергия.

§6.9. Примеры вычисления потенциальной энергии.

Рекомендуемая литература

• П.А. Жилин. Основы рациональной механики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018 637 с. (Скачать pdf: 2.9 Mb)
• В.А. Пальмов. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа. Изд-во Политехн. ун-та, 2008, 109 с. (Скачать pdf: 5,54 Mб)
• Е.Н. Вильчевская. Тензорная алгебра и тезорный анализ: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та], 2012. 44 c. (Скачать pdf: 297 Kb)
• П.А. Жилин. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве: учеб. пособие. СПб.: Санкт-Петербургский гос. техн. университет, 1992, 88 с. (Скачать pdf: 5.24 MB)

См. также

• Пример плана лекционного курса “Теоретическая механика”
• Курс "Теоретическая механика" А. М. Кривцова