Сравнение методов Рунге-Кутта и Липфрога

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Виртуальная лаборатория>Сравнение методов Рунге-Кутта и leapfrog

Постановка задачи

Дано простейшее уравнение движения грузика на пружине: [math]\ddot{x} = -cx[/math]. Необходимо интегрировать его с помощью двух методов: leapfrog и Рунге-Кутта. Сравнить результаты.

Метод численного интегрирования Рунге-Кутты

Для нашего уравнения алгоритм будет выглядеть следующим образом:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
[math]kv_1 = dt(-x(t))[/math]
[math]kv_2 = dt(-x(t)+\frac{kv_1}{2})[/math]
[math]kv_3 = dt(-x(t)+\frac{kv_2}{2})[/math]
[math]kv_4 = dt(-x(t)+kv_3)[/math]

[math]kr_1 = dtV(t)[/math]
[math]kr_2 = dt(V(t)+\frac{kr_1}{2})[/math]
[math]kr_3 = dt(V(t)+\frac{kr_2}{2})[/math]
[math]kr_4 = dt(V(t)+kv_3)[/math]
где [math]dt[/math] - шаг интегрирования.
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
[math]V(t+dt) = V(t) + \frac{h}{6}(kr_1 + 2kr_2 + 2kr_3 + kr_4)[/math]
[math]x(t+dt) = x(t) + \frac{h}{6}(kv_1 + 2kv_2 + 2kv_3 + kv_4)[/math]
Рунге-Кутты

Метод численного интегрирования leapfrog

Для уравнения второй степени скорость и перемещение находятся следующим образом:
[math]V(t+dt) = V(t)-x(t)dt[/math]
[math]x(t+dt) = x(t)+V(t+dt)dt[/math]
leapfrog

                           Метод Рунге-Кутта                                                            Метод leapfrog



Скачать программу Particles1.rar.

Текст программы на языке JavaScript (разработчик Погодина Валерия):

Файл "Particles1.js"

  1 <!DOCTYPE html>
  2 <html>
  3 <head>
  4     <meta charset="UTF-8" />
  5     <title> Particle</title>
  6     <script src="Particles2.js"></script>
  7 <!--     <script src="jquery.min.js"></script>
  8     <script src="jquery.flot.js"></script> -->
  9 </head>
 10 <body>
 11 <br>
 12 <table><tr valign="top">
 13 	<td>
 14     <canvas id="canvasGraph" width="600" height="600" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
 15 	<canvas id="canvasGraph1" width="600" height="600" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
 16 	</td>
 17 <!-- 	<td>
 18 	<input type="button" id="drop_spring" value="Drop Spring"/><br>
 19 	<br/>
 20 	<input type="button" id="new_static" value="New Static"/><br>
 21 	<br>
 22     <input type="range" id="slider_m" min="0.1" max="1.5" step=0.1 style="width: 150px;" />
 23     Масса грузиков = <input type="number" id="number_m" min="0.1" max="1.5" step=0.1 style="width: 50px;" /><br>
 24 	
 25 		<input type="range" id="slider_spf" min="1" max="15" step=1 style="width: 150px;" />
 26     Скорость протекания процесса = <input type="number" id="number_spf" min="1" max="15" step=1 style="width: 50px;" /><br> -->
 27 	
 28 	<input type="range" id="slider_n" min="1" max="100" step=1 style="width: 150px;" />
 29     Количество частиц = <input type="number" id="number_n" min="1" max="100" step=1 style="width: 50px;" /><br>
 30 	<br>
 31 	<input type="range" id="slider_dt" min="0.0001" max="0.01" step=0.0001 style="width: 150px;" />
 32     dt = <input type="number" id="number_dt" min="0.0001" max="0.01" step=0.0001 style="width: 50px;" /><br>
 33 	<br>
 34 	<script 
 35 	type="text/javascript"> app = new MainParticle(document.getElementById('canvasGraph'),document.getElementById('canvasGraph1'));
 36 	</script>
 37 <!-- 	График перемещений последнего грузика:
 38     <div id="vGraph1" style="width:400px; height:200px; clear:both;"></div> -->
 39 			
 40 
 41 </tr></table>
 42 </body>
 43 </html>
 44 function MainParticle(canvas_gr, canvas_gr1) {
 45     // Предварительные установки
 46 	var context_gr  = canvas_gr.getContext("2d");  // на context происходит рисование
 47 	var context_gr1  = canvas_gr1.getContext("2d");  // на context происходит рисование
 48    //  Задание констант	
 49     const Pi = 3.1415926;                   // число "пи"
 50     const m0 = 1;                           // масштаб массы
 51     const T0 = 1;                           // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
 52     const a0 = 1;                           // масштаб расстояния (диаметр шара)
 53 
 54     const g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
 55     const k0 = 2 * Pi / T0;                 // масштаб частоты
 56     const C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
 57     const B0 = 2 * m0 * k0;                 // масштаб вязкости
 58 
 59     // *** Задание физических параметров ***
 60 
 61     const Ny = 5;                           // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
 62     const m = 1 * m0;                       // масса
 63     const Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
 64     const   B = 0.01 * B0;                   // вязкость среды
 65     const  B1 = 0.03 * B0;                   // вязкость на стенках
 66     var    mg = 0.25 * m * g0;               // сила тяжести
 67     const   r = 0.5 * a0;                     // радиус частицы в расчетных координатах
 68 	var stiff = 1 * C0;                     // "жесткость" пружинки
 69 
 70 	var vx0 = 1 * a0 / T0;
 71 
 72 	
 73 	
 74 	
 75 	
 76     // *** Задание вычислительных параметров ***
 77 
 78     const fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качеcтво отображения)
 79     const spf = 100;                        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
 80     var dt  = 0.2 * T0 / fps; 
 81 	var n = 100;	// шаг интегрирования 
 82 	slider_n.value = parseInt(n);
 83 	number_n.value = parseInt(n);
 84 	slider_dt.value = dt;
 85 	number_dt.value = dt;
 86 	
 87 	        function setN(new_n) {
 88                 n = new_n;
 89 	for (var i = 0; i< n; i++) {
 90 		for (var j = 0; j < n; j++) {
 91 			c = [];
 92 			d = [];
 93 			c.x = w / 2 + w / 7.1 / n * i;
 94 			c.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
 95 			d.x = 0.28 / n * i;
 96 			d.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
 97 			b[i][j] = c;
 98 			a[i][j] = d;
 99 		}
100 	}
101 		context_gr.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
102 		context_gr1.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
103         }
104 		
105 		function setdt(new_dt) {
106 			dt = new_dt;
107 	for (var i = 0; i< n; i++) {
108 		for (var j = 0; j < n; j++) {
109 			c = [];
110 			d = [];
111 			c.x = w / 2 + w / 7.1 / n * i;
112 			c.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
113 			d.x = 0.28 / n * i;
114 			d.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
115 			b[i][j] = c;
116 			a[i][j] = d;
117 		}
118 	}
119 		context_gr.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
120 		context_gr1.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
121         }
122 		
123 	slider_n.oninput = function () {
124 		number_n.value = slider_n.value;
125 		setN(slider_n.value);
126         };
127 		
128 	number_n.oninput = function () {
129 		slider_n.value = number_n.value;
130 		setN(number_n.value);
131         };
132 
133 	slider_dt.oninput = function () {
134 		number_dt.value = slider_dt.value;
135 		setdt(slider_dt.value);
136         };
137 		
138 	number_dt.oninput = function () {
139 		slider_dt.value = number_dt.value;
140 		setdt(number_dt.value);
141         };
142 
143 	
144 	
145 	// Задание констант для рисования
146 	const scale = canvas_gr.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
147 	
148 	var w = canvas_gr.width / scale;           // ширина окна в расчетных координатах
149     var h = canvas_gr.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах
150 	
151 
152     // -------------------------------         Выполнение программы              ------------------------------------------
153 	// Добавление шара
154 	var b = [];
155 	var a = [];
156 	for (var z = 0; z < n; z++) {
157 		b[z] = [];
158 		a[z] = [];
159 	}
160 	for (var i = 0; i< n; i++) {
161 		for (var j = 0; j < n; j++) {
162 			c = [];
163 			d = [];
164 			c.x = w / 2 + w / 7.1 / n * i;
165 			c.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
166 			d.x = 0.28 / n * i;
167 			d.vx = vx0 / 1.7 / n * j;
168 			b[i][j] = c;
169 			a[i][j] = d;
170 		}
171 	}
172 	
173 	// Основной цикл программы
174 	setInterval(control, 1500 / fps);  // функция control вызывается с периодом, определяемым вторым параметром
175 	
176 // ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
177 // ---------------------------------           Определение всех функций              -----------------------------------
178 // ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
179 	
180 	// основная функция, вызываемая в программе
181 	function control() 
182 	{
183         physics(); // делаем spf шагов интегрирование
184 		draw_gr(); // рисуем график
185     }
186 
187 	
188     // Функция, делающая spf шагов интегрирования
189     function physics() {                    // то, что происходит каждый шаг времен	
190 		for (var s = 1; s <= spf; s++) {
191 			for (var k = 0; k < n; k++) {
192 				for (var p = 0; p < n; p++) {	
193 			k1v = dt*(-( b[k][p].x - w/2));
194 			k2v = dt*(-( b[k][p].x - w/2)  + k1v/2);
195 			k3v = dt*(-( b[k][p].x - w/2)  + k2v/2);
196 			k4v = dt*(-( b[k][p].x - w/2) + k3v);
197 			   
198 			k1r = dt* b[k][p].vx;
199 			k2r = dt*(b[k][p].vx + k1r/2);
200 			k3r = dt*(b[k][p].vx + k2r/2);
201 			k4r = dt*(b[k][p].vx + k3r);
202 			   
203 			b[k][p].vx += (k1v + 2*k2v + 2*k3v + k4v)/6;
204 			b[k][p].x  += (k1r + 2*k2r + 2*k3r + k4r)/6;
205 			
206 					
207 			a[k][p].vx = a[k][p].vx - a[k][p].x * dt;          
208 			a[k][p].x = a[k][p].x + a[k][p].vx * dt; 
209         }
210 				}
211 			}			
212 		}
213 		
214 
215 	
216 		
217 
218 	// Определение функции, рисующей график
219 	context_gr.fillStyle = "#3070d0"; // цвет
220 	context_gr.strokeStyle = "#ff0000";
221 	context_gr1.fillStyle = "#3070d0"; // цвет
222 	context_gr1.strokeStyle = "#ff0000";
223 	function draw_gr() 
224 	{
225 		context_gr.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
226 		context_gr.beginPath();
227 		context_gr.strokeStyle = "#000000";
228 		
229 		context_gr1.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);
230 		context_gr1.beginPath();
231 		context_gr1.strokeStyle = "#000000";
232 		
233 		// ось
234 		context_gr.moveTo(w/2*scale, (h)*scale);
235 		context_gr.lineTo(w/2*scale, -h*scale);
236 		context_gr1.moveTo(w/2*scale, (h)*scale);
237 		context_gr1.lineTo(w/2*scale, -h*scale);
238 		
239 		// ось 
240 		context_gr.moveTo(0, (h/2)*scale);
241 		context_gr.lineTo((w)*scale, (h/2)*scale);
242 		context_gr1.moveTo(0, (h/2)*scale);
243 		context_gr1.lineTo((w)*scale, (h/2)*scale);
244 		
245         context_gr.closePath();
246 		context_gr.stroke();
247         context_gr1.closePath();
248 		context_gr1.stroke();
249 		
250 		// график 
251 		for (var l = 0; l< n; l++) {
252 			for (var m = 0; m < n; m++) {
253 				context_gr.beginPath();
254 				context_gr.arc(b[l][m].x * scale, (-b[l][m].vx + h / 2) * scale, 1, 0, 2 * Math.PI, false);                  //рисуем шар
255 				context_gr.fill();
256 				context_gr.closePath();
257 				
258 				context_gr1.beginPath();
259 				context_gr1.arc(a[l][m].x * 300 + 300, (-a[l][m].vx + h / 2) * scale, 1, 0, 2 * Math.PI, false);                  //рисуем шар
260 				context_gr1.fill();
261 				context_gr1.closePath();
262 				
263 			}
264 		}
265 	
266 	}	
267 }

Выводы

Мы наблюдаем симплектический характер метода Липфрога: сохраняет энергию(слегка измененную). Метод Рунге-Кутты напротив не соханяет энергию системы.

Ссылки