Перераспределение энергии по пространственным направлениям в кристаллах — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Модель двумерного кристалла)
(Заключение)
 
(не показано 17 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Выпускная квалификационная работа'''''
 
'''''Выпускная квалификационная работа'''''
 +
 +
'''Направление:''' 01.03.03 – «Механика и математическое моделирование»
  
 
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]]
 
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]]
Строка 5: Строка 7:
 
'''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]]
 
'''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]]
  
 +
Материалы:
 +
* [[Медиа: Шварёв Н.Г._edited_3.pdf|диплом]]
 +
* [[Медиа: PosterMeow.pdf|постер]]
 +
* [[Медиа: ЗащитаMeow.pdf|презентация]]
  
 
==Введение==
 
==Введение==
Строка 28: Строка 34:
  
 
Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math>
 
Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math>
 +
 +
Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.
  
  
Строка 45: Строка 53:
 
==Модель двумерного кристалла==
 
==Модель двумерного кристалла==
  
Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]].
+
[[File:Triangular_lattice_10x10.png|thumbnail|Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы]]
  
Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]].
+
• Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]].
  
Задаются следующие начальные условия:
+
• Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]].
 +
 
 +
Задаются следующие начальные условия:
  
 
<math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>.
 
<math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>.
Строка 55: Строка 65:
 
В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей.  
 
В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей.  
  
Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.
+
Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.
 +
 
 +
 
 +
==Выравнивание температуры==
 +
 
 +
 
 +
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Temperature equalization.png|Рис.2. Поведение кинетической температуры при усреднении по 100 реализациям
 +
</gallery>
 +
 
 +
Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.
 +
 
 +
На начальном интервале в несколько периодов <math>τ_o</math> происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.
 +
 
 +
 
 +
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Redistribution_of_energy.png|Рис.3. График перераспределения кинетической температуры по направлениям
 +
</gallery>
 +
 
 +
 
 +
==Степень влияния нелинейности==
 +
 
 +
Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.
 +
 
 +
 
 +
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Influence_of_nonlinearity.png|Рис.4. Степень влияния нелинейности
 +
</gallery>
 +
 
 +
Видно, что скорость <math>0.0001v_o</math> настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию:
 +
<math>\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)</math>,
 +
 
 +
а при скорости <math>0.01v_o</math> разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.
 +
 
 +
 
 +
==Вывод формулы подобия==
 +
 
 +
Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.
 +
 
 +
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Stretched_0.02.png|Рис.5. <math>0.01v_o</math> и <math>0.02v_o</math>, растянутый в 4 раза вдоль горизонтальной оси
 +
</gallery>
 +
 
 +
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Stretched_0.03.png|Рис.6. <math>0.01v_o</math> и <math>0.03v_o</math>, растянутый в 9 раз вдоль горизонтальной оси
 +
</gallery>
 +
 
 +
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Stretched_0.04.png|Рис.7. <math>0.01v_o</math> и <math>0.04v_o</math>, растянутый в 16 раз вдоль горизонтальной оси
 +
</gallery>
 +
 
 +
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 +
Файл:Stretched_0.05.png|Рис.8. <math>0.01v_o</math> и <math>0.05v_o</math>, растянутый в 25 раз вдоль горизонтальной оси
 +
</gallery>
 +
 
 +
Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время:
 +
<math> t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 </math>,
 +
 
 +
где <math> v_{max2} > v_{max1} </math>.
 +
 
 +
 
 +
Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:
 +
 
 +
<math>∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) </math>,
 +
 
 +
<math>t ≥ 10 τ_o </math>,
 +
 
 +
где за <math> ∆T</math> принята разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math>
 +
 
 +
==Выделение медленного процесса==
 +
 
 +
 
 +
==Заключение==
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Автор благодарен [[Старобинский Егор|Е.Б. Старобинскому]] за полезные обсуждения.
 +
 
 +
==Список литературы==

Текущая версия на 20:20, 7 февраля 2018

Выпускная квалификационная работа

Направление: 01.03.03 – «Механика и математическое моделирование»

Выполнил: студент группы 43604/1 Н.Г. Шварёв

Руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Теоретическая механика В.А. Кузькин

Материалы:

Введение[править]

Количественное описание неравновесных тепловых процессов в кристаллах – одна из актуальных проблем современной физики. Это связано со стремительным развитием нанотехнологий. В связи с этим большой интерес представляют процессы, происходящие в твердых телах при переходе к состоянию термодинамического равновесия. Неравновесное состояние может быть вызвано, к примеру, прохождением ударных волн или быстрым лазерным воздействием. Тогда кинетические энергии теплового движения атомов в разных направлениях могут значительно различаться. Это, в свою очередь, показывает, что кинетическая температура может проявлять тензорные свойства. На фронте ударной волны, распространяющейся вдоль одной из осей, например, оси X, выполняются следующее соотношение:

[math]\widehat T_{xx} \gt \widehat T_{yy} [/math],

где [math]\widehat T_{xx}= \frac{{m\lt v_x^2\gt }}{k_B}, \widehat T_{yy}= \frac{{m\lt v_y^2\gt }}{k_B}[/math] - кинетические температуры вдоль соответствующих направлений, [math]k_B[/math] - постоянная Больцмана.

При переходе к равновесному состоянию в кристалле реализуется два процесса:

1)Выравнивание кинетической и потенциальной энергий;

2)Перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.

Данная работа посвящена численному описанию перераспределения кинетической энергии по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой.

Далее будет рассматриваться обезразмеренное значение температуры: [math] T_{xx} = \frac{\widehat T_{xx}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o}, T_{yy} = \frac{\widehat T_{yy}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o} [/math],

где [math] \widehat T_{xx}^o , \widehat T_{yy}^o [/math] - значения в начальный момент времени [math] \widehat T_{xx}, \widehat T_{yy} [/math] соответственно

Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: [math] T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y [/math]

Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.


Цели и задачи работы[править]

Целью данной работы является проведение компьютерного моделирования перераспределения кинетической по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой. В связи с поставленной целью решаются следующие задачи:

• рассмотрение процесса выравнивания температур;

• рассмотрение влияния нелинейности на поведение системы;

• выделение медленного процесса, вызываемого нелинейностью;

• определение формы выделенного медленного процесса.


Модель двумерного кристалла[править]

Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы

• Рассматривается Треугольная кристаллическая решетка.

• Для взаимодействия между частицами используется Потенциал Леннард-Джонса.

• Задаются следующие начальные условия:

[math]v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0[/math].

В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением [math]v_{max}[/math], нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей.

• Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.


Выравнивание температуры[править]

Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math] стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.

На начальном интервале в несколько периодов [math]τ_o[/math] происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.



Степень влияния нелинейности[править]

Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.


Видно, что скорость [math]0.0001v_o[/math] настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию: [math]\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)[/math],

а при скорости [math]0.01v_o[/math] разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math] уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.


Вывод формулы подобия[править]

Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.

Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время: [math] t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 [/math],

где [math] v_{max2} \gt v_{max1} [/math].


Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:

[math]∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) [/math],

[math]t ≥ 10 τ_o [/math],

где за [math] ∆T[/math] принята разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math]

Выделение медленного процесса[править]

Заключение[править]

Автор благодарен Е.Б. Старобинскому за полезные обсуждения.

Список литературы[править]