Динамическая потеря устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Барсуков Севастьян

Группа: 3630103/60101

Семестр: осень 2019

Постановка задачи

Исследовать динамическую потерю устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость при различных начальных отклонениях, а также при различных скоростях последней частицы.

Построение модели

В данной работе моделирование цепочки проводится методом динамики частиц.

Уравнение движения: [math] m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} [/math]

Метод решения

Для решения задачи использовался метод Верле (leapfrog):

[math] a_i = F(r_i), [/math]
[math] v_{i+\frac {1}{2}} = v_{i-\frac {1}{2}} + a_i dt, [/math]
[math] r_{i+1} = r_{i} + v_{i+\frac {1}{2}} dt[/math]

Начальные условия

Частицы обладают случайными начальными вертикальными смещениями:
[math]y_i = y_{rand}[/math]
[math]y_0 = 0[/math]
[math]y_n = 0[/math]

Граничные условия

Левый конец цепочки закреплен, правому задана постоянная скорость.
[math]v_0 = 0[/math]
[math]v_n = -v[/math]

Параметры системы

Для проведения моделирования задаются следующие параметры: масса частиц [math] m=1[/math], жесткость угловой пружины [math] C_s=1[/math], количество частиц в цепочке [math] n=10[/math], равновесная длина пружины [math]{\pmb a_{0}=1}[/math]. Остальные параметры системы выражаются через данные.

Взаимодействия в системе

В системе имеется два типа взаимодействия:
1. Потенциал линейной пружины:
Частицы соединены линейной пружиной:
[math]П_k= \frac {k(r)^2}{2}[/math]
где k - линейная жесткость пружины; r – расстояние между частицами.
2. Потенциал угловой пружины:

Рис.1 Угловая пружинка

Частицы соединены угловой пружиной, как показано на рис. 1:
[math]П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}[/math]
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.

Модель

В данной программе в начальный момент времени задаются:

• [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}}[/math] - отношение жесткости линейной пружины к угловой пружине
• [math]{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}}[/math] - отношение начального вертикального смещения к равновесной длине пружины (в процентах)
• [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}[/math] - отношение скорости правой частицы к [math]{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb C_{s}}{\pmb m}}[/math]
• Возможность придания скорости левой частице

Текст программы на языке JavaScript:

  1 window.addEventListener("load", program_code, false);
  2 function program_code() {
  3 	var ctx = canvas_example.getContext("2d");
  4 	var w = canvas_example.width;
  5 	var h = canvas_example.height;
  6     ctx.strokeRect(0,0,w,h);
  7 	//var ctx1 = canvas_example1.getContext("2d");
  8 	//var w1 = canvas_example1.width;
  9 	//var h1 = canvas_example1.height;
 10     //ctx1.strokeRect(0,0,w1,h1);
 11 	
 12 	var v0 = 10; //Скорость правого шарика
 13 	var v01 = 0; //Скорость левого шарика
 14 	var m = 10; //Масса шарика
 15 	var ht = 20; //параметр рисования
 16 	var htt = 40; //параметр рисования                          
 17 	var Cs = 10000; //Жесткость на изгиб       
 18 	var rad = 5; //Радиус шариков
 19 	var dt = 0.01;
 20 	var tt = 0; // Время
 21 	var dy=document.getElementById('r3'); //Начальные смещения по оси y, задаваемые пользователем
 22 	var ppp2=document.getElementById('text3'); 
 23 	ppp2.innerHTML=dy.value;
 24 	dy.oninput = function() {
 25 		ppp2.innerHTML="<"+dy.value;
 26 		for (var i=0;i<u_len;i++){
 27 			Yt[i] = dy.value*Math.random()+h/2;
 28 		}
 29 		Yt[0] = h/2;
 30 		Yt[u_len-1] = h/2;
 31 		r_ = [Xt,Yt];
 32 		defaultdraw();
 33 	}
 34 	var F_ = [0,0];
 35 	var pp = [0,0];
 36 	var FF = [];
 37 	var	v = [[v01,0,0,0,0,0,0,0,0,v0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]]; //массив скоростей
 38 	var	kk = -5; //Жесткость пружины
 39 	var Xt = [w/11,2*w/11,3*w/11,4*w/11,5*w/11,6*w/11,7*w/11,8*w/11,9*w/11,10*w/11]; //начальные положения частиц по оси X
 40 	var	u_len = Xt.length;
 41 	var	Yt = []; //Начальные смещения по оси y
 42 	for (var i=0;i<u_len;i++){
 43 		Yt[i] = 1*Math.random()+h/2;
 44 	}
 45 	Yt[0] = h/2; //Граничные условия
 46 	Yt[u_len-1] = h/2;
 47 	var	r_ = [Xt,Yt]; //Вектор перемещений
 48 	var	r12_ = [[0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0]]; //Вектор между частицами
 49 	var	r12 = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]; //Модуль вектора перемещений
 50 
 51 	// Рисование в начальном положении
 52 	function defaultdraw(){
 53 		ctx.clearRect(0,0,w,h);
 54 		ctx.strokeRect(0,0,w,h);
 55 		for (var i=0;i<u_len;i++){
 56 			ctx.beginPath();
 57 			ctx.arc(Xt[i],Yt[i],rad,0,Math.PI*2);
 58 			ctx.fill();
 59 		}
 60         for (var i=0;i<u_len-1;i++){
 61             var x_st = r_[0][i]
 62             var y_st = r_[1][i]
 63             var x_end = r_[0][i+1]
 64             var y_end = r_[1][i+1]
 65             var l = r_[0][i+1] - r_[0][i];
 66             var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
 67             ctx.beginPath();
 68             ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  ht, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
 69             ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - ht, x_st + l, y_st + ly);			
 70             ctx.stroke();
 71 		}
 72 		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
 73             var x_st = r_[0][i]
 74             var y_st = r_[1][i]
 75             var x_end = r_[0][i+1]
 76             var y_end = r_[1][i+1]
 77 			var x_end_end = r_[0][i+1]
 78 			var y_end_end = r_[1][i+1]
 79             var l = r_[0][i+1] - r_[0][i]
 80             var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
 81 			var l1 = r_[0][i+2] - r_[0][i+1]
 82             var ly1 = r_[1][i+2] - r_[1][i+1]
 83             ctx.beginPath();
 84 			ctx.bezierCurveTo(x_st+l/2, y_st+ly/2, x_st + l, y_st+ly+htt , x_st+l + l1/2, y_st +ly+ ly1/2);
 85 			ctx.stroke();
 86         }
 87 	}
 88 	defaultdraw();
 89 
 90 		var Css=document.getElementById('r1'); //Задаваемая угловая жесткость
 91 		var ppp=document.getElementById('text'); 
 92 		var k1=document.getElementById('r2'); //Задаваемая жесткость
 93 		var ppp1=document.getElementById('text2'); 
 94 		ppp.innerHTML=Css.value;
 95 		ppp1.innerHTML=-k1.value;
 96 		Css.oninput = function() {
 97 			ppp.innerHTML=Css.value;
 98 		}
 99 		k1.oninput = function() {
100 			ppp1.innerHTML=-k1.value;
101 		}
102 		
103 	// Физический модуль	
104 	function physics() {
105 		chbox=document.getElementById('one'); // Будет ли скорость у левой частицы
106 		if (chbox.checked) {
107 			v01 = v0
108 		}
109 		else {
110 			v01 = 0
111 		}
112 		
113 		Cs = Css.value
114 		kk = k1.value
115 		for (var i=0;i<u_len-1;i++){         
116 			r12_[0][i] = r_[0][i+1]-r_[0][i];
117 			r12_[1][i] = r_[1][i+1]-r_[1][i];
118 		}
119 		for (var i=0;i<u_len-1;i++){        
120 			r12[i] = Math.sqrt(r12_[0][i]*r12_[0][i]+r12_[1][i]*r12_[1][i]);
121 		}
122 		f = []
123 		for (var i=0;i<2;i++){
124 			f[i] = []
125 			for (var j=0;j<u_len;j++){
126 				f[i][j] = 0
127 			}
128 		}
129 		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
130 			F_[0] = kk*((w/(u_len+1))-r12[i])*(r12_[0][i]/r12[i])
131 			F_[1] = kk*((w/(u_len+1))-r12[i])*(r12_[1][i]/r12[i])
132 			
133 			etta = -(r12_[0][i]*r12_[0][i+1]+r12_[1][i]*r12_[1][i+1]) / ( r12[i]*r12[i+1] );  			
134 			phi = Math.acos(etta);                                                   
135 			Fp = [0,0];                                                                    
136 			Fn = [0,0];                                                                
137 			F = [0,0];
138 			if (phi != Math.PI){
139 				koef = Cs * (Math.PI - phi)/(Math.sqrt(1-etta*etta) * r12[i] * r12[i+1]);
140 				A = [[ 1 - Math.pow(r12_[0][i]/r12[i],2), -r12_[0][i]*r12_[1][i]/(r12[i]*r12[i])], [-r12_[0][i]*r12_[1][i]/(r12[i]*r12[i]), 1 - Math.pow(r12_[1][i]/r12[i],2) ]];
141 				B = [[ 1 - Math.pow(r12_[0][i+1]/r12[i+1],2), -r12_[0][i+1]*r12_[1][i+1]/(r12[i+1]*r12[i+1])],[ -r12_[0][i+1]*r12_[1][i+1]/(r12[i+1]*r12[i+1]), 1 - Math.pow(r12_[1][i+1]/r12[i+1],2) ]];
142 				Fp = [-koef*(r12_[0][i+1]*A[0][0]+r12_[1][i+1]*A[1][0]),-koef*(r12_[0][i+1]*A[0][1]+r12_[1][i+1]*A[1][1])];
143 				Fn = [koef*(r12_[0][i]*B[0][0]+r12_[1][i]*B[1][0]),koef*(r12_[0][i]*B[0][1]+r12_[1][i]*B[1][1])];
144 				F = [-Fn[0] - Fp[0],-Fn[1] - Fp[1]];
145 			}
146 			f[0][i] = f[0][i] + F_[0] + Fp[0];
147 			f[1][i] = f[1][i] + F_[1] + Fp[1];
148 			f[0][i+1] = f[0][i+1]-F_[0]+F[0];
149 			f[1][i+1] = f[1][i+1]-F_[1]+F[1];
150 			f[0][i+2] = f[0][i+2]+Fn[0];
151 			f[1][i+2] = f[1][i+2]+Fn[1];
152 		}
153 		pp[0] = kk*((w/(u_len+1))-r12[u_len-2])*(r12_[0][u_len-2]/r12[u_len-2])
154 		pp[1] = kk*((w/(u_len+1))-r12[u_len-2])*(r12_[1][u_len-2]/r12[u_len-2])
155 		f[0][u_len-2] = f[0][u_len-2] +pp[0];
156 		f[1][u_len-2] = f[1][u_len-2] +pp[1];
157 		f[0][u_len-1] = f[0][u_len-1]-pp[0];
158 		f[1][u_len-1] = f[1][u_len-1]-pp[1];
159 		for (var i=0;i<u_len-1;i++){
160 			v[0][i] = v[0][i] + (f[0][i]/m) * dt;  
161 			v[1][i] = v[1][i] + (f[1][i]/m) * dt;  
162 		}			
163                     
164     
165 		v[0][0] = v01;
166 		v[1][0] = 0;
167 		v[0][u_len-1] = -v0;
168 		v[1][u_len-1] = 0;
169 		for (var i=0;i<u_len;i++){
170 			r_[0][i] = r_[0][i] + v[0][i] * dt; 
171 			r_[1][i] = r_[1][i] + v[1][i] * dt; 
172 		}
173 	}
174 	//Модуль рисования
175 	function draw() {
176 		tt=tt+1
177 		// Условия остановки выполнения программы
178 		if ((tt>6300) && (v01==0)){
179 			clearInterval(tim)
180 		}
181 		if ((tt>3150) && (v01!=0)){
182 			clearInterval(tim)
183 		}		
184 		ctx.clearRect(0,0,w,h);
185 		ctx.strokeRect(0,0,w,h);
186 		// Рисование шариков
187 		for (var i=0;i<u_len;i++){
188 			ctx.beginPath();
189 			ctx.arc(r_[0][i],r_[1][i],rad,0,Math.PI*2);
190 			ctx.fill();
191 		}
192 		//if ((tt%10==0){
193 		FF.push(f[0][u_len-1])
194 		//}
195 		if (tt==60){
196 			console.log(JSON.stringify(FF))
197 		}
198 		// График силы
199 		//for (var i=0;i<u_len;i++){
200 		//	ctx1.beginPath();
201 		//	ctx1.arc(tt/10,-f[0][u_len-1]/10+h/2,1,0,Math.PI*2);
202 		//	ctx1.stroke();
203 		//}
204       	ctx.beginPath();
205         for (var i=0;i<u_len-1;i++){
206             var x_st = r_[0][i]
207             var y_st = r_[1][i]
208             var x_end = r_[0][i+1]
209             var y_end = r_[1][i+1]
210             var l = r_[0][i+1] - r_[0][i];
211             var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
212             ctx.beginPath();
213             ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  ht, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
214             ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - ht, x_st + l, y_st + ly);
215             ctx.stroke();
216 		}
217 		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
218             var x_st = r_[0][i]
219             var y_st = r_[1][i]
220             var x_end = r_[0][i+1]
221             var y_end = r_[1][i+1]
222 			var x_end_end = r_[0][i+1]
223 			var y_end_end = r_[1][i+1]
224             var l = r_[0][i+1] - r_[0][i]
225             var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
226 			var l1 = r_[0][i+2] - r_[0][i+1]
227             var ly1 = r_[1][i+2] - r_[1][i+1]
228             ctx.beginPath();
229 			ctx.bezierCurveTo(x_st+l/2, y_st+ly/2, x_st + l, y_st+ly+htt , x_st+l + l1/2, y_st +ly+ ly1/2);
230 			ctx.stroke();
231         }
232       	ctx.closePath();		
233 	}
234 	// Контрольный модуль
235 	function control(){
236 	physics();
237 	draw();
238 	}
239 	var tim;
240 	// Функция остановки программы
241 	function go1(){
242 		clearInterval(tim);
243 	}
244 	// Функция работы программы
245 	function go(){
246 	clearInterval(tim); 
247 	control() ; 
248 	tim = setInterval(control,1000/60); 
249 	}
250 	button_aler.onclick=go //Кнопка старта
251 	button_aler1.onclick=go1 //Кнопка остановки
252 }

Результаты моделирования

Графики зависимости обезрамеренной продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math], где [math]{\pmb F_{е}}[/math] - Эйлерова критическая сила в статике, от времени [math]t[/math] (от количества итераций) при различных значениях параметров построены в python по данным полученным из программы javascript.

• Как видно из графиков зависимости обезрамеренной продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени [math]t[/math] (от количества итераций) (Рис. 2 и Рис. 3) линейный участок роста продольной силы имеет наибольшую длину при малых начальных вертикальных смещениях. Следовательно критическая сила, при которой продольная сила перестает расти линейно и начинает уменьшаться, наступает для начального вертикального смещения "[math]\lt 1%[/math]"относительно равновесной длины пружины [math]{\pmb a_{0}}[/math] при большей силе, нежели при начальном смещении "[math]\lt 6%[/math]" или "[math]\lt 11%[/math]"относительно равновесной длины пружины [math]{\pmb a_{0}}[/math].
• Из графиков зависимости обезрамеренной продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени [math]t[/math] (от количества итераций) (Рис. 4, Рис. 5 и Рис. 6) видно, что линейный участок роста продольной силы имеет наибольшую длину при большом значении скорости правой частицы. Это справедливо для любого начального вертикального смещения частиц. Следовательно критическая сила, при которой продольная сила перестает расти линейно и начинает уменьшаться, наступает для скорости правой частицы [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.01}[/math] при большей силе, нежели при скорости правой частицы [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}[/math] или [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.001}[/math].

Рис.2 Зависимость продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени t (от количества итераций) при [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}[/math], при скорости правой частицы [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}[/math] и различных начальных вертикальных смещениях.

Рис.3 Зависимость продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени t (от количества итераций) при [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=1}[/math], при скорости правой частицы [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}[/math] и различных начальных вертикальных смещениях.

Рис.4 Зависимость продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени t (от количества итераций) при [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}[/math], начальных вертикальных смещениях [math]{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}\lt 1}[/math], при различных скоростях правой частицы.

Рис.5 Зависимость продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени t (от количества итераций) при [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}[/math], начальных вертикальных смещениях [math]{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}\lt 6}[/math], при различных скоростях правой частицы.

Рис.6 Зависимость продольной силы [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math] от времени t (от количества итераций) при [math]{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}[/math], начальных вертикальных смещениях [math]{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}\lt 11}[/math], при различных скоростях правой частицы.

Ссылки

• Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652.