Вычисление упругих характеристик кристаллических решеток графена и алмаза с применением многочастичных потенциалов — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Динамическое вычисление упругих модулей)
 
(не показано 16 промежуточных версий 3 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита).  
 
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита).  
  
В данной работе вычисление упругих модулей кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) [1] с применением многочастичного потенциала Терсоффа [2], [3], Терсоффа-Бреннера [4], [5], а также потенциала Бреннера второго поколения [8].
+
В данной работе вычисление модулей упругости кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) <ref name="RFBR" /> с применением многочастичного [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | потенциала Терсоффа]] <ref name="Tersoff1" /> <ref name="Tersoff2" /> <ref name="Erkoc" />, [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | Терсоффа-Бреннера]] <ref name="Brenner1" /> <ref name="Reddy" />, а также [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | потенциала Бреннера второго поколения]] <ref name="Brenner2" />.
  
 
* Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]]
 
* Аналитические расчеты: [[И. Е. Беринский]]
 
* Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]]
 
* Компьютерный эксперимент: [[В. А. Цаплин]]
  
== Аналитическое вычисление упругих модулей ==
+
== Аналитическое вычисление модулей упругости ==
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 45: Строка 45:
 
| Терсофф
 
| Терсофф
 
| 426
 
| 426
| 619
+
| 597
| 1339
+
| 1132
| -31
+
| 72.5
 
|-
 
|-
 
| Бреннер
 
| Бреннер
Строка 62: Строка 62:
 
|}
 
|}
  
== Описание компьютерного эксперимента ==
+
== Квазистатическое вычисление модулей упругости ==
  
 
На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии.
 
На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии.
Строка 94: Строка 94:
  
 
Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой
 
Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой
описание вычислительного процесса в целом и включает в себя определение начальных
+
вычислительный процесс в целом и включает в себя определение начальных
 
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной
 
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной
 
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и
 
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и
скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, описание вычислительного
+
скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, вычислительный
процесса в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и
+
процесс в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и
 
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет
 
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет
собой описание одного шага интегрирования по времени. Результатом этой части
+
собой один шаг интегрирования по времени. Результатом этой части
 
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома
 
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома
 
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе
 
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе
Строка 111: Строка 111:
 
один атом.
 
один атом.
  
На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам [6]:
+
На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам <ref name="Krivtsoff1" />:
  
 
<math>
 
<math>
Строка 146: Строка 146:
 
<math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>.
 
<math>\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}</math>.
  
При этом упругие модули выражаются через эти коэффициенты по формулам:
+
При этом модули упругости выражаются через эти коэффициенты по формулам:
  
 
<math>
 
<math>
Строка 166: Строка 166:
 
<math>  \begin{array}{l}
 
<math>  \begin{array}{l}
 
     \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
 
     \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
%
 
 
     \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
 
     \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
%
 
 
     \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
 
     \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
%
 
 
     \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
 
     \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
%
 
 
     \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
 
     \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
%
 
 
     \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
 
     \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
 
   \end{array}
 
   \end{array}
 
</math>
 
</math>
  
Упругие модули выражаются по формулам:
+
Модули упругости выражаются по формулам:
  
 
<math>
 
<math>
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
%
 
 
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad
 
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad
%
 
 
     K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}).
 
     K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}).
 
</math>
 
</math>
Строка 212: Строка 205:
 
Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем,
 
Объем такой ячейки равен <math>64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>, т.е. на один атом приходится объем,
 
равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2.
 
равный <math>8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}</math>. Результаты вычислений представлены в таблице 2.
 
== Квазистатическое вычисление упругих модулей ==
 
 
[[Правильная формулировка?]]
 
 
В  результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления.
 
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 226: Строка 213:
 
| Е,<BR> Н / м
 
| Е,<BR> Н / м
 
| nu
 
| nu
| C_11 = C_22,<BR> Н / м
+
| <math>C_{11} = C_{22}</math>,<BR> Н / м
| C_12,<BR> Н / м
+
| <math>C_{12}</math>,<BR> Н / м
 
|-
 
|-
 
| Терсофф
 
| Терсофф
Строка 258: Строка 245:
 
| Е,<BR> ГН / м^2
 
| Е,<BR> ГН / м^2
 
| nu
 
| nu
| G = C_44,<BR> ГН / м^2
+
| <math>G = C_{44}</math>,<BR> ГН / м^2
| C_11 = C_22,<BR> ГН / м^2
+
| <math>C_{11} = C_{22}</math>,<BR> ГН / м^2
| C_12,<BR> ГН / м^2
+
| <math>C_{12}</math>,<BR> ГН / м^2
 
|-
 
|-
 
| Терсофф
 
| Терсофф
Строка 287: Строка 274:
 
|}
 
|}
  
== Динамическое вычисление упругих модулей ==
+
== Динамическое вычисление модулей упругости ==
  
Для вычисления упругих модулей графена динамическим способом находится период
+
Для вычисления модулей упругости графена динамическим способом находится период
 
гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается
 
гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается
 
синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний:
 
синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний:
Строка 331: Строка 318:
 
</math>
 
</math>
  
Для гармонических колебаний вдоль оси <math>OX_1</math> с длиной волны <math>l = 219.8 \mbox{\AA}</math>
+
Для гармонических колебаний вдоль оси <math>OX_1</math> с длиной волны <math>l = 219.8 \mbox{Å}</math>
 
(50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода
 
(50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода
 
продольных колебаний <math>24.68 \pm 0.01</math> и периода поперечных колебаний <math>32.36 \pm 0.01</math>.
 
продольных колебаний <math>24.68 \pm 0.01</math> и периода поперечных колебаний <math>32.36 \pm 0.01</math>.
 
В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в
 
В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в
 
прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены.
 
прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены.
Для колебаний вдоль оси <math>OX_2</math> с длиной волны <math>l = 253.8 \mbox{\AA}</math> (100
+
Для колебаний вдоль оси <math>OX_2</math> с длиной волны <math>l = 253.8 \mbox{Å}</math> (100
 
ячеек периодичности) период продольных колебаний составил <math>28.50 \pm 0.01</math>, период
 
ячеек периодичности) период продольных колебаний составил <math>28.50 \pm 0.01</math>, период
поперечных колебаний <math>37.36 \pm 0.01</math>. В результате упругие модули получили значения, приведенные в таблицах 3, 4.
+
поперечных колебаний <math>37.36 \pm 0.01</math>. В результате модули упругости получили значения, приведенные в таблицах 3, 4.
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Строка 384: Строка 371:
 
|-
 
|-
 
| Терсофф
 
| Терсофф
| 1018
+
| <math>1018</math>
| 610.7
+
| <math>610.7</math>
 
|-
 
|-
 
| Бреннер
 
| Бреннер
| 590
+
| <math>613.8 \pm 0.2</math>
| 361
+
| <math>379.8 \pm 0.1</math>
 +
|-
 +
| Бреннер2
 +
| <math>1060.3 \pm 0.4</math>
 +
| <math>711.5 \pm 0.3</math>
 
|}
 
|}
 +
 +
== Приложение ==
 +
 +
[[Таблицы параметров вычислительных экспериментов]]
  
 
== Список литературы ==
 
== Список литературы ==
  
[1] А.М.Кривцов, И.Б.Волковец, П.В.Ткачев, В.А.Цаплин, Применение метода динамики
+
<references>
 +
 
 +
<ref name="RFBR">А.М.Кривцов, И.Б.Волковец, П.В.Ткачев, В.А.Цаплин, Применение метода динамики
 
частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Математика. Механика.
 
частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Математика. Механика.
Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. --- М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С.
+
Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С.
361---377
+
361–377 [[Медиа:RFBR.pdf |(1122 Kb)]]</ref>
  
[2] J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
+
<ref name="Tersoff1">J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
// Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991-6999
+
// Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999[[Медиа:tersoff-silicon(main).pdf | (2.50 Mb)]]</ref>
  
[3] Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
+
<ref name="Tersoff2">J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79-105
+
Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882.
 +
[[Медиа:tersoff-carbon.pdf | (708 Kb)]]</ref>
  
[4] D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
+
<ref name="Erkoc">Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458-9471.
+
of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105[[Медиа:Erkoc_1997.pdf | (937 Kb)]]</ref>
  
[5] C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
+
<ref name="Brenner1">D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864-870.
+
Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471.
 +
[[Медиа:brenner-phys-rev.pdf | (2.21 Mb)]] [[Медиа:brenner-errors.pdf | (Errata 102 Kb)]]</ref>
  
[6] А.М.Кривцов, Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой, М: ФИЗМАТЛИТ,
+
<ref name="Reddy">C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
2007, 304 с.
+
elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.</ref>
  
[7] J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
+
<ref name="Brenner2">D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879-2882.
+
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
 +
hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802.
 +
[[Медиа:brenner2002.pdf | (144 Kb)]]</ref>
  
[8] D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
+
<ref name="Krivtsoff1">А.М.Кривцов, Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой,  
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
+
М: ФИЗМАТЛИТ, 2007, 304 с.</ref>
hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783-802.
 
  
 +
</references>
  
 
[[Category: Проект "Кристалл"]]
 
[[Category: Проект "Кристалл"]]

Текущая версия на 17:04, 20 августа 2016

Введение[править]

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств кристаллической решетки графена (монослой графита).

В данной работе вычисление модулей упругости кристаллических решеток графена и алмаза ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД) [1] с применением многочастичного потенциала Терсоффа [2] [3] [4], Терсоффа-Бреннера [5] [6], а также потенциала Бреннера второго поколения [7].

Аналитическое вычисление модулей упругости[править]

Таблица 1. Результаты вычислений для решетки графена
Потенциал K,
Н / м
Е,
Н / м
nu
Терсофф 176 407 -0.158
Бреннер 201 236 0.412
Бреннер 2 201 243 0.397
Таблица 2: Результаты вычислений для решетки алмаза
Потенциал K,
ГН / м^2
G = C_44,
ГН / м^2
C_11 = C_22,
ГН / м^2
C_12,
ГН / м^2
Терсофф 426 597 1132 72.5
Бреннер 484 245 664 395
Бреннер 2 442 670 1123 101

Квазистатическое вычисление модулей упругости[править]

На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии. При этом задается либо растяжение вдоль двух осей симметрии решетки (рис. 1), либо сдвиговая деформация вдоль одной из осей. На этом этапе решается динамическая задача достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

[math]\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau[/math]

[math]\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,[/math]

где [math]\tau[/math] – шаг интегрирования. Ускорение [math]\underline{w}(t)[/math] вычисляется через приложенную к частице силу.

Для нахождения силы, приложенной к одной частице, рассматриваемая область разбивается на квадратные ячейки со стороной, не меньшей [math]R + D[/math]. Рассматриваются все частицы, находящиеся в одной ячейке, либо в соседних ячейках к ячейке, где находится частица, для которой вычисляется приложенная сила.

Колебания атомов гасятся введением коэффициента трения в уравнения движения. При этом достигается однородное деформированное состояние со значениями [math]\varepsilon_{11} = 0.001[/math] (при растяжении вдоль оси [math]OX_1[/math]), и [math]\varepsilon_{22} = 0.001[/math] (при растяжении вдоль оси [math]OX_2[/math]). При вычислении используется несколько ячеек периодичности и ставятся периодические граничные условия.

Vtsaplin pic2.png

Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой вычислительный процесс в целом и включает в себя определение начальных параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, вычислительный процесс в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет собой один шаг интегрирования по времени. Результатом этой части вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе рассматриваемой прямоугольной области. Шаг интегрирования по времени состоит из определения скоростей атомов при учете действующих сил на каждый атом системы, а также определение приращений перемещений атомов системы. Третья часть вычислительного процесса представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на один атом.

На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам [8]:

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), [/math]

иначе

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i} (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij} [/math]

Здесь [math]{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i[/math] – тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером [math]i[/math]. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений [math]({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)[/math] по всем частицам. [math]V[/math] – объем ячейки периодичности (в двумерной постановке – площадь). [math]\underline{F}_{\alpha}^i[/math] – векторный коэффициент, равный [math]\displaystyle 2 \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}[/math], где [math]\alpha[/math] – номер соседней частицы к частице с номером [math]i[/math]. [math]\underline{A}_{\alpha}^i[/math] – вектор относительного положения соседней частицы: [math]\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i[/math], где [math]\underline{r}_i[/math] – радиус-вектор частицы с номером [math]i[/math], [math]\underline{r}_{\alpha}^i[/math] – радиус-вектор соседней частицы ([math]\alpha[/math]). [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся на одну связь, см. потенциал Терсофа.

В двумерной постановке (графен) коэффициенты упругости вычисляются с помощью соотношений между компонентами напряжений и деформаций:

[math]\sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22},\quad[/math]

[math]\sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{22} \varepsilon_{22},\quad[/math]

[math]\tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12}[/math].

При этом модули упругости выражаются через эти коэффициенты по формулам:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11}},\quad E = \frac{C_{11}^2 - C_{12}^2}{C_{11}},\quad K = \frac{1}{2}(C_{11} + C_{12}). [/math]

Здесь [math]\nu[/math] – коэффициент Пуассона, [math]E[/math] – модуль Юнга, [math]K[/math] – коэффициент объемного сжатия.

В результате компьютерного эксперимента для графена получены значения, приведенные в таблице 1. Количество цифр соответствует точности вычисления.

В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости определяются через следующие выражения:

Vtsaplin pic3.png

[math] \begin{array}{l} \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. \end{array} [/math]

Модули упругости выражаются по формулам:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}). [/math]

Ячейка периодичности кристаллической решетки алмаза представляет собой куб с гранью [math]4 a_d / \sqrt{3}[/math], где [math]a_d[/math] – межатомное расстояние кристаллической решетки алмаза в равновесном состоянии.

На одну ячейку периодичности приходится 8 атомов углерода (рис. 2), координаты которых в осях, параллельных ребрам куба имеют вид:

[math]r_1 (0, 0, 0)[/math], [math]r_2 (a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})[/math],
[math]r_3 (0, 2 a_d / \sqrt{3}, 2 a_d / \sqrt{3})[/math], [math]r_4 (a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3})[/math],
[math]r_5 (2 a_d / \sqrt{3}, 0, 2 a_d / \sqrt{3})[/math], [math]r_6 (3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3})[/math],
[math]r_7 (2 a_d / \sqrt{3}, 2 a_d / \sqrt{3}, 0)[/math], [math]r_8 (3 a_d / \sqrt{3}, 3 a_d / \sqrt{3}, a_d / \sqrt{3})[/math].

Объем такой ячейки равен [math]64\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}[/math], т.е. на один атом приходится объем, равный [math]8\,a_d^3\,/\,3\sqrt{3}[/math]. Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 1. Результаты вычислений для решетки графена
Потенциал K,
Н / м
Е,
Н / м
nu [math]C_{11} = C_{22}[/math],
Н / м
[math]C_{12}[/math],
Н / м
Терсофф 175.4 406.2 -0.158 416.7 -66.0
Бреннер 200.3 235.8 0.411 283.8 116.7
Бреннер 2 201.0 242.7 0.396 287.9 114.1
Таблица 2: Результаты вычислений для решетки алмаза
Потенциал K,
ГН / м^2
Е,
ГН / м^2
nu [math]G = C_{44}[/math],
ГН / м^2
[math]C_{11} = C_{22}[/math],
ГН / м^2
[math]C_{12}[/math],
ГН / м^2
Терсофф 425 1056 0.087 642 1074 102
Бреннер 485 291 0.400 386 623 415
Бреннер 2 442 1049 0.104 721 1075 125

Динамическое вычисление модулей упругости[править]

Для вычисления модулей упругости графена динамическим способом находится период гармонических колебаний кристаллической решетки. Форма колебаний задается синусоидальной, кратной длине ячейки периодичности. Рассматриваются два вида колебаний: продольные и поперечные. В обоих случаях отношение пространственного и временного периода колебаний равно скорости распространения соответствующей бегущей волны. Если [math]u_1, u_2[/math] – компоненты вектора смещения частиц, зависящие от координаты [math]x_1[/math], что соответствует распространению волны вдоль оси [math]OX_1[/math], то уравнение продольных колебаний имеет вид:

[math] C_{11} \partial_{11} u_1 = \rho \ddot{u}_1, [/math]

откуда следует выражение для скорости распространения волны:

[math] V^2 = \frac{C_{11}}{\rho} = \left(\frac{l}{T}\right)^2, [/math]

где [math]V[/math] – скорость распространения волны, [math]\rho[/math] – плотность среды, [math]l[/math] – длина волны, [math]T[/math] – период колебаний.

Уравнение поперечных колебаний имеет вид:

[math] C_{44} \partial_{11} u_2 = \rho \ddot{u}_2, [/math]

соответствующее выражение для скорости: [math]\displaystyle V^2 = \frac{C_{44}}{\rho}[/math].

Аналогично, для волн вдоль оси [math]OX_2[/math]:

[math] C_{22} \partial_{22} u_2 = \rho \ddot{u}_2, \quad V^2 = \frac{C_{22}}{\rho}. [/math]

[math] C_{44} \partial_{22} u_1 = \rho \ddot{u}_1, \quad V^2 = \frac{C_{44}}{\rho}. [/math]

Для гармонических колебаний вдоль оси [math]OX_1[/math] с длиной волны [math]l = 219.8 \mbox{Å}[/math] (50 ячеек периодичности) в ходе компьютерного эксперимента получены значения периода продольных колебаний [math]24.68 \pm 0.01[/math] и периода поперечных колебаний [math]32.36 \pm 0.01[/math]. В качестве единицы времени выбрана величина периода колебаний одного атома в прямой бесконечной цепочке атомов при условии, что другие атомы закреплены. Для колебаний вдоль оси [math]OX_2[/math] с длиной волны [math]l = 253.8 \mbox{Å}[/math] (100 ячеек периодичности) период продольных колебаний составил [math]28.50 \pm 0.01[/math], период поперечных колебаний [math]37.36 \pm 0.01[/math]. В результате модули упругости получили значения, приведенные в таблицах 3, 4.

Таблица 3: Результаты динамических вычислений для решетки графена
Потенциал K,
Н / м
Е,
Н / м
nu [math]C_{11} = C_{22}[/math],
Н / м
[math]C_{12}[/math],
Н / м
[math]G = C_{44}[/math],
Н / м
Терсофф 170.6 397.1 -0.164 408.1 -66.9 237.5
Бреннер 200.4 235.7 0.412 283.9 117.0 83.44
Бреннер 2 201.4 242.8 0.397 288.3 114.5 86.92
Таблица 4: Результаты динамических вычислений для решетки алмаза
Потенциал [math]C_{11} = C_{22}[/math], ГН / м[math]^2[/math] [math]G = C_{44}[/math], ГН / м[math]^2[/math]
Терсофф [math]1018[/math] [math]610.7[/math]
Бреннер [math]613.8 \pm 0.2[/math] [math]379.8 \pm 0.1[/math]
Бреннер2 [math]1060.3 \pm 0.4[/math] [math]711.5 \pm 0.3[/math]

Приложение[править]

Таблицы параметров вычислительных экспериментов

Список литературы[править]

  1. А.М.Кривцов, И.Б.Волковец, П.В.Ткачев, В.А.Цаплин, Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Математика. Механика. Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. 361–377 (1122 Kb)
  2. J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999 (2.50 Mb)
  3. J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882. (708 Kb)
  4. Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105 (937 Kb)
  5. D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471. (2.21 Mb) (Errata 102 Kb)
  6. C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.
  7. D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot. A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802. (144 Kb)
  8. А.М.Кривцов, Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой, М: ФИЗМАТЛИТ, 2007, 304 с.