"Численные методы интегрирования уравнений движения для одномерной линейной цепочки и частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса" — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''''Курсовой проект по Механике дискретных сред''''' '''Исполни…»)
 
(1. Одномерная линейная цепочка)
 
(не показано 10 промежуточных версий этого же участника)
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Постановка задачи:==  
 
==Постановка задачи:==  
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия</div>
+
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия
 
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса
 
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса
  
 
==Теоретическая сводка:==
 
==Теоретическая сводка:==
# Одномерная линейная цепочка
+
==== 1. Одномерная линейная цепочка ====
  
 
Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.
 
Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.
  
[[Image:Изображение1.png|top]]
+
[[Image:Изображение22331.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение2.png|top]]</div>
+
Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:</div>
+
[[Image:Изображение22333.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение3.png|top]]</div>
 
  
 +
Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:</div>
+
а. Метод Верле
  
 +
[[Image:Изображение151.png|top]]
 +
 +
Введем обозначения:
 +
 +
[[Image:Изображение1512.png|top]]
 +
 +
Тогда для численной реализации удобно записать:
 +
 +
[[Image:Изображение1513.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">а. Метод Верле</div>
 
  
 
б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
 
б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение4.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22334.png|top]]
 
 
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение5.png|top]]</div>
 
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение6.png|top]][[Image:Изображение7.png|top]][[Image:Изображение8.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22335.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение9.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22336.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение10.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22337.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение11.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22338.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение12.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение22339.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение13.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223310.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение14.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223311.png|top]]
  
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение15.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223312.png|top]]
  
 +
[[Image:Изображение223313.png|top]]
  
Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:# Фиксированные граничные условия
+
[[Image:Изображение223314.png|top]]
  
 +
[[Image:Изображение223315.png|top]]
  
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
+
Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:  
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение16.png|top]]</div>
+
* Фиксированные граничные условия
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение17.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223316.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение18.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223317.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение19.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223318.png|top]]
  
 +
[[Image:Изображение223319.png|top]]
  
# Свободные граничные условия
+
* Свободные граничные условия
  
 +
[[Image:Изображение223320.png|top]]
  
 +
[[Image:Изображение223321.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
+
* Периодические граничные условия
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение20.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223322.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение21.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223323.png|top]]
  
 +
Случай с закрепленными краями:
  
# Периодические граничные условия
+
[[Image:Изображение155100.png|top]]
  
 +
Случай с периодическими граничными условиями:
  
 +
[[Image:Изображение1551p.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
+
Случай со свободными краями:
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение22.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение1551f.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение23.png|top]]</div>
+
Распределение энергии:
  
 +
[[Image:Изображение27015.png|top]]
  
# Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса
+
[[Image:Изображение28011.png|top]]
  
 +
[[Image:Изображение27016.png|top]]
  
 +
====2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса ====
  
 
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:
 
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение24.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223324.png|top]]
  
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение25.png|top]]</div>
+
[[Image:Изображение223325.png|top]]
  
[[Image:Изображение26.png|top]]
+
[[Image:Изображение223326.png|top]]
  
 
Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.
 
Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.
  
[[Image:Изображение27.png|top]]
+
[[Image:Изображение223327.png|top]]
  
Решение:
+
[[Image:Изображение2331.PNG|top]]
  
Вывод:# Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
+
==Вывод:==
# Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.
+
* Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
 +
* Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.

Текущая версия на 11:01, 28 января 2020

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Троцкая Валерия

Группа: 3630103/60101

Семестр: осенний семестр 2019-2020 учебного года

Постановка задачи:[править]

  1. Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия
  2. Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса

Теоретическая сводка:[править]

1. Одномерная линейная цепочка[править]

Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.

Изображение22331.png

Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:

Изображение22333.png


Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:

а. Метод Верле

Изображение151.png

Введем обозначения:

Изображение1512.png

Тогда для численной реализации удобно записать:

Изображение1513.png


б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

Изображение22334.png

Изображение22335.png

Изображение22336.png

Изображение22337.png

Изображение22338.png

Изображение22339.png

Изображение223310.png

Изображение223311.png

Изображение223312.png

Изображение223313.png

Изображение223314.png

Изображение223315.png


Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:

  • Фиксированные граничные условия

Изображение223316.png

Изображение223317.png

Изображение223318.png

Изображение223319.png

  • Свободные граничные условия

Изображение223320.png

Изображение223321.png

  • Периодические граничные условия

Изображение223322.png

Изображение223323.png

Случай с закрепленными краями:

Изображение155100.png

Случай с периодическими граничными условиями:

Изображение1551p.png

Случай со свободными краями:

Изображение1551f.png

Распределение энергии:

Изображение27015.png

Изображение28011.png

Изображение27016.png

2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса[править]

Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:

Изображение223324.png

Изображение223325.png

Изображение223326.png

Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.

Изображение223327.png

Изображение2331.PNG

Вывод:[править]

  • Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
  • Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.