Редактирование: "Численные методы интегрирования уравнений движения для одномерной линейной цепочки и частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Троцкая Валерия]]

'''Группа:''' 3630103/60101

'''Семестр:''' осенний семестр 2019-2020 учебного года

==Постановка задачи:== 
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса

==Теоретическая сводка:==
==== 1. Одномерная линейная цепочка ====

Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.

[[Image:Изображение22332.png|top]]

[[Image:Изображение22331.png|top]]

Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:

[[Image:Изображение22333.png|top]]


Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:

а. Метод Верле

б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

[[Image:Изображение22334.png|top]]

[[Image:Изображение22335.png|top]]

[[Image:Изображение22336.png|top]]

[[Image:Изображение22337.png|top]]

[[Image:Изображение22338.png|top]]

[[Image:Изображение22339.png|top]]

[[Image:Изображение223310.png|top]]

[[Image:Изображение223311.png|top]]

[[Image:Изображение223312.png|top]]

[[Image:Изображение223313.png|top]]

[[Image:Изображение223314.png|top]]

[[Image:Изображение223315.png|top]]


Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий: 

* Фиксированные граничные условия

[[Image:Изображение223316.png|top]]

[[Image:Изображение223317.png|top]]

[[Image:Изображение223318.png|top]]

[[Image:Изображение223319.png|top]]

* Свободные граничные условия

[[Image:Изображение223320.png|top]]

[[Image:Изображение223321.png|top]]

* Периодические граничные условия

[[Image:Изображение223322.png|top]]

[[Image:Изображение223323.png|top]]

 
====2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса ====

Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:

[[Image:Изображение223324.png|top]]

[[Image:Изображение223325.png|top]]

[[Image:Изображение223326.png|top]]

Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.

[[Image:Изображение223327.png|top]]



==Вывод:==
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.
+[[Image:Изображение22332.png|top]]
 [[Image:Изображение22331.png|top]]
@@ Строка 26: / Строка 28: @@
 а. Метод Верле
-[[Image:Изображение151.png|top]]
-Введем обозначения:
-[[Image:Изображение1512.png|top]]
-Тогда для численной реализации удобно записать:
-[[Image:Изображение1513.png|top]]
 б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
@@ Строка 89: / Строка 80: @@
 [[Image:Изображение223323.png|top]]
-Случай с закрепленными краями:
-[[Image:Изображение155100.png|top]]
-Случай с периодическими граничными условиями:
-[[Image:Изображение1551p.png|top]]
-Случай со свободными краями:
-[[Image:Изображение1551f.png|top]]
-Распределение энергии:
-[[Image:Изображение27015.png|top]]
-[[Image:Изображение28011.png|top]]
-[[Image:Изображение27016.png|top]]
 ====2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса ====
@@ Строка 123: / Строка 95: @@
 [[Image:Изображение223327.png|top]]
-[[Image:Изображение2331.PNG|top]]
 ==Вывод:==
-* Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
-* Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.