Редактирование: "Численные методы интегрирования уравнений движения для одномерной линейной цепочки и частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса"

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Постановка задачи:==  
 
==Постановка задачи:==  
−
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия
+
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия</div>
 
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса
 
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса
  
 
==Теоретическая сводка:==
 
==Теоретическая сводка:==
−
==== 1. Одномерная линейная цепочка ====
+
# Одномерная линейная цепочка
  
 
Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.
 
Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.
  
−
[[Image:Изображение22331.png|top]]
+
[[Image:Изображение1.png|top]]
  
−
Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение2.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22333.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:</div>
  
 +
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение3.png|top]]</div>
  
−
Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:
 
  
−
а. Метод Верле
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:</div>
  
−
[[Image:Изображение151.png|top]]
 
  
−
Введем обозначения:
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">а. Метод Верле</div>
  
−
[[Image:Изображение1512.png|top]]
+
б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
  
−
Тогда для численной реализации удобно записать:
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение4.png|top]]</div>
−
 
 
−
[[Image:Изображение1513.png|top]]
 
−
 
 
−
 
 
−
б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
 
  
−
[[Image:Изображение22334.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение5.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22335.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение6.png|top]][[Image:Изображение7.png|top]][[Image:Изображение8.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22336.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение9.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22337.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение10.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22338.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение11.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение22339.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение12.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223310.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение13.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223311.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение14.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223312.png|top]]
+
<div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение15.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223313.png|top]]
 
  
−
[[Image:Изображение223314.png|top]]
+
Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:# Фиксированные граничные условия
  
−
[[Image:Изображение223315.png|top]]
 
  
  
−
Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:  
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
  
−
* Фиксированные граничные условия
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение16.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223316.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение17.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223317.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение18.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223318.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение19.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223319.png|top]]
 
  
−
* Свободные граничные условия
+
# Свободные граничные условия
  
−
[[Image:Изображение223320.png|top]]
 
  
−
[[Image:Изображение223321.png|top]]
 
  
−
* Периодические граничные условия
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
  
−
[[Image:Изображение223322.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение20.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223323.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение21.png|top]]</div>
  
−
Случай с закрепленными краями:
 
  
−
[[Image:Изображение155100.png|top]]
+
# Периодические граничные условия
  
−
Случай с периодическими граничными условиями:
 
  
−
[[Image:Изображение1551p.png|top]]
 
  
−
Случай со свободными краями:
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div>
  
−
[[Image:Изображение1551f.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение22.png|top]]</div>
  
−
Распределение энергии:
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение23.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение27015.png|top]]
 
  
−
[[Image:Изображение28011.png|top]]
+
# Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса
  
−
[[Image:Изображение27016.png|top]]
 
  
−
====2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса ====
 
  
 
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:
 
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:
  
−
[[Image:Изображение223324.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение24.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223325.png|top]]
+
<div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение25.png|top]]</div>
  
−
[[Image:Изображение223326.png|top]]
+
[[Image:Изображение26.png|top]]
  
 
Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.
 
Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.
  
−
[[Image:Изображение223327.png|top]]
+
[[Image:Изображение27.png|top]]
  
−
[[Image:Изображение2331.PNG|top]]
+
Решение:
  
−
==Вывод:==
+
Вывод:# Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
−
* Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
+
# Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.
−
* Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.
 
Вам запрещено изменять защиту статьи.
Связанное содержимое ↓
Edit Создать редактором
Шаблоны быстрого доступа

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)
Источник — «http://tm.spbstu.ru/%22Численные_методы_интегрирования_уравнений_движения_для_одномерной_линейной_цепочки_и_частицы_в_потенциальной_яме_Леннарда-Джонса%22»