Управление нелинейными волновыми процессами в нелинейных механических системах

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
Автор работы: Антонов И.Д.
Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор А.В. Порубов

Введение

В последнее время в разных областях науки наблюдается рост интереса к изучению динамики нелинейных волн. Что же такое нелинейные волны? Нели­нейность противопоставляется линейности, то есть подразумевается, что нели­нейные волны должны обладать рядом определяющих их свойств, не присущих линейным волнам.

С физической точки зрения, когда говорится о нелинейности, подчерки­ваются физические свойства нелинейных волн. Так, волны достаточно малой амплитуды, то есть линейные волны, при распространении в среде не искажа­ются и не взаимодействуют друг с другом. В то же время волны большей амплитуды — нелинейные — обладают другими свойствами: скорость их начи­нает зависеть от амплитуды, а также между волнами может осуществляться взаимодействие. Подчеркивается, что для линейных волн, в отличие от нели­нейных, выполняется принцип суперпозиции.

С математической же точки зрения, когда говорится о нелинейности, под­черкиваются свойства нелинейных дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в рассматриваемых динамических системах. Для ли­нейных дифференциальных уравнений разработаны и хорошо изучены методы получения их решения. С другой стороны, для нелинейных уравнений нет общего метода их поиска. Получение точных решений нелинейных диффе­ренциальных уравнений представляет собой более трудную и творческую зада­чу.

Одно из самых известных и изучаемых нелинейных уравнений, среди точных решений которого выделяются уединенные локализованные нелинейные волны-солитоны, — уравнение синус-Гордона. Существует простая механическая интерпретация уравнения синус-Гордо­на — модель Скотта — механическая система, представляющая из себя маятниковую решетку, в которой распространяются крутильные волны. Тео­ретически такую систему можно использовать для демонстрации солитонных решений уравнения синус-Гордона. Математически для этого необходимо, чтобы профиль формы и скорости волны в начальный момент времени был задан в виде одного из точных решений уравнения синус-Гордона. На практике точно реализовать такую ситуацию довольно сложно и, соответственно, сложно получить и поддерживать в среде солитон желаемой формы и скорости. При этом поддержание волны в виде солитона представляет собой серьезный научный интерес, так как солитоны могут переносить довольно большую энергию, спо­собную разрушать материал, а так же передавать информацию на большие расстояния. Возникает вопрос: можно ли каким-нибудь способом восстанавливать форму волны и поддерживать в виде солитона для механических структур, описываемых нелинейными уравнениями, такими как уравнение синус-Гордона?

В этих целях могут применяться методы теории управления. Данная работа посвящена изучению и разработке современных методов управления ло­кализованными нелинейными волнами в механических системах.

Первая часть работы

В первой части работы описывается алгоритм распределенного управле­ния волнами в механической среде, поведение которых описывается уравнени­ями, подобными уравнению синус-Гордона. Для подобного уравнения уже было показано в предыдущих работах, что распределенное управление можно успешно применять для поддержания локализованных волн в случае, если начальные условия не соответствуют точному решению уравнения. Однако в этих рабо­тах поддерживаемые управлением волны задавались в виде точных решений уравнения синус-Гордона. К тому же, алгоритм управления тестировался на математической модели, не привязанной к конкретной физической задаче. Од­ной из целей данной работы был поиск механической задачи, решение которой описывается модельными уравнениями, схожими с уравнением синус-Гордона. Помимо этого, было показано, что в качестве цели управления необязательно должен выбираться солитон, являющийся точным решением уравнения синус­ Гордона.

Рассмотренные уравнения:

Уравнение синус-Гордона с управлением:

[math] {W}_{tt} - {W}_{xx}+ \sin{W} = \alpha_1 (W^* - W)+\alpha_2 (W_t^*-W_t). [/math]

Двойное уравнение синус-Гордона с управлением:

[math] {W}_{tt} - {W}_{xx}+ \sin{W} + q\sin{2W} = \alpha_1 (W^* - W)+\alpha_2 (W_t^*-W_t). [/math]

Дисперсионное уравнение синус-Гордона с управлением:

[math] {W}_{tt} - {W}_{xx}+ \sin{W} + b W_{xxxx} = \alpha_1 (W^* - W)+\alpha_2 (W_t^*-W_t). [/math]

Вторая часть работы

Вторая часть работы посвящена исследованию распределенного управления связанными нелинейными волнами движущихся дефектов в двух­ атомных кристаллах. В данном случае распространение связанной локализованной волны может быть нарушено, например, неточным соответствием поло­жений начальных форм каждой из волн. Алгоритм управления в таком случае может быть применен для достижения и поддержания обеими волна­ ми форм точного решения связанной системы уравнений. В частности, алго­ритм может устранить осцилляции и другие дефекты в профилях распростра­няющихся волн, вызванных несоответствием положений максимумов связанных волн в момент генерации. Исследовался случай введения управления в одно из связанных уравнений.

Пример работы управления для дисперсионного уравнения синус-Гордона. Красным цветом -- целевая функция, синим -- численное решение в разные моменты времени

Результаты

Результаты проделанной работы условно можно разделить на математиче­ские и физические.

Математические результаты.

Успешно разработан алгоритм управления нелинейными волнами на осно­ ве метода скоростного градиента. Алгоритм был протестирован на одиночных уравнениях трех типов: уравнении синус-Гордона, двойного уравнения синус­ Гордона и дисперсионного уравнения синус-Гордона; а также на системе связан­ных уравнений. В качестве целевых функций управления выбирались не только точные решения в виде солитонов, но и локализованные волны достаточно произвольной формы. Для связанных уравнений средствами удалось восстановить вид точного решения при несоответствии положений волн, отвечающих разным уравнениям, в начальный момент времени.

Физические результаты

Успешно была поставлена механическая задача, а именно задача о плос­ком упругом слое, нижняя граница которого погружена в морозный грунт, а на верхней границе которого задана произвольная нагрузка. Построено асимпто­тическое решение поставленной задачи и, таким образом, выведено модельное уравнение для слабо-поперечных волн смещения. Показано, что выбирая на­грузку на верхней границе слоя определенным образом, модельное уравнение принимает вид уравнения синус-Гордона с управлением, и, следовательно, в рас­смотренном слое можно осуществлять управление слабо-поперечными волнами смещения. Более того, поставленная задача была рассмотрена в обобщенном случае, в котором также возникает возможность управления волнами.

Таким образом, работа выполнена успешно, выполнены все поставленные цели. Получены результаты, которые могут найти применение как в области физики, так и в области математики.

Успехи и поддержка

Основные результаты:

• Написано и опубликовано две статьи в журналах IOPScience и Elsevier
• Доклад на конференции APM-2016 <<Generation of desired nonlinear wave by feedback control>>

Работа выполнялась в рамках проекта Российского Научного Фонда 14-29-00142.

Подробнее

Подробнее ознакомиться с работой можно прочитав её полный текст, или посмотрев презентацию работы