Обратный каскад энергии (двумерная турбулентность)
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Степанов Матвей
Группа: 09 (43604)
Семестр: осень 2016
Переход энергии с микро на макро уровень (и обратно) - одно из фундаментальных физических явлений. В данной работе,на примере двумерных турбулентных вихрей, рассматривается случай перехода с мелкомасштабного механического движения на крупномасштабное. В литературе это явление обычно упоминается как “обратный каскад” энергии. Построенная модель позволяет исследовать переход энергии с микро на макро уровень и корреляции скоростей в дискретной среде.
Модель представлена набором взаимодействующих частиц с случайными начальными скоростями. Частицы взаимодействуют за счет отталкивающих потенциальных и диссипативных сил. Динамика взаимодействия описана набором уравнений движения Ньютона:
где m, r - масса и радиус вектор i-ой частицы, - отталкивающая потенциальная и диссипативная силы соответственно.
Выражения для потенциальной и диссипативной сил:
где - радиус обрезания, - энергетические параметры системы, - коэффициент вязкости.
Диссипативные силы уменьшают полную энергию системы. Таким образом, без внешнего добавления энергии система перейдет в состояние равновесия. В данной модели энергия добавляется при помощи термостата Берендсена. Скорости частиц на каждом шаге по времени перемножаются на параметр :
где - температура среды
Программа
Частички расположены впритык друг к другу и образуют прямоугольную решетку. С помощью написанной программы можно изменять количество шаров, коэффициент вязкости и температуру в среде(термостат).
Текст программы на языке JavaScript:
Файл "Inverse cascade.js"
1 // Версия 16.12.16
2
3
4 // Версия Total 19.12.16
5 //Stepanov MD
6
7 function MainBalls(canvas, slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
8
9 canvas.onselectstart = function () {return false;}; // запрет выделения canvas
10
11 // Предварительные установки
12
13 var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
14 canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;}; // блокировка контекстного меню
15
16 var Pi = 3.1415926; // число "пи"
17
18 var m0 = 1; // масштаб массы
19 var T0 = 1; // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
20 var a0 = 1; // масштаб расстояния (диаметр шара)
21
22 var g0 = a0 / T0 / T0; // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
23 var k0 = 2 * Pi / T0; // масштаб частоты
24 var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
25 var B0 = 2 * m0 * k0; // масштаб вязкости
26
27 var L = 0;
28 var G = 0;
29 var G1 = 0;
30 var G2 = 0;
31
32 // *** Задание физических параметров ***
33
34 var Ny = 20; // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
35 var m = 1 * m0; // масса
36 var Cwall = 10 * C0; // жесткость стен
37 var Cball = 0.1 * Cwall; // жесткость между частицами
38
39 /*var B = 0.000 * B0; // вязкость среды*/
40
41 var Bball = 0.01 * B0; // вязкость между частицами
42 var Bwall = 0.03 * B0; // вязкость на стенках
43 var mg = 0.25 * m * g0; // сила тяжести
44 var r = 0.5 * a0; // радиус частицы в расчетных координатах
45 var K = 0.7; // все силы, зависящие от радиуса, ограничиваются значением, реализующимся при r/a = K
46 var a = 2 * r; // равновесное расстояние между частицами
47 var aCut = 2 * a; // радиус обрезания
48
49 // *** Задание вычислительных параметров ***
50
51 var fps = 50; // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
52 var spf = 100; // steps per frame - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
53 var dt = 0.045 * T0 / fps; // шаг интегрирования (качество расчета)
54
55
56 var steps = 0;
57
58
59 // Выполнение программы
60
61 var r2 = r * r; // ___в целях оптимизации___
62 var aCut2 = aCut * aCut; // ___в целях оптимизации___
63 var a2 = a * a; // ___в целях оптимизации___
64 var D = a2 * Cball / 72; // энергия связи между частицами
65 var Temp = 0;
66 Temp0 = 0.12 * D;
67 var B1 = 12*Math.sqrt((2*D)/a2);
68 var B = 0.026 * B1;
69 var betta = 3.5*B;
70
71 var LJCoeff = 6 * D / a2; // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
72 var Ka = K * a; // ___в целях оптимизации___
73 var K2a2 = K * K * a2; // ___в целях оптимизации___
74
75 var dNd = null; // ссылка на захваченный курсором шар (drag & drop)
76 var grad; // должен ли работать градиент (регулируется в функции setNy())
77
78 this.set_01 = function(p) {betta = p * B;};
79 this.set_02 = function(pT) {Temp0 = pT *D;};
80
81 this.setNy = function(ny) {
82 Ny = ny;
83 context.fillStyle = "#3070d0"; // цвет, шара
84 };
85 this.setNy(Ny); // запускаем с уже присвоенным значением, чтобы обновились настройки градиента
86
87 // Запуск новой системы
88
89 // следующие переменные должны пересчитываться каждый раз, когда мы изменяем значение Ny
90 var scale, w, h;
91 var rScale13, rScaleShift;
92 this.newSystem = function() {
93 scale = canvas.height / Ny / a0; // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
94 w = canvas.width / scale; // ширина окна в расчетных координатах
95 h = canvas.height / scale; // высота окна в расчетных координатах
96
97 rScale13 = r * scale * 1.3; // ___в целях оптимизации___
98 rScaleShift = r * scale / 5; // ___в целях оптимизации___
99
100 this.setMy();
101 };
102
103 // настройка слайдеров и текстовых полей
104 slider_01.min = 0.1; slider_01.max = 20;
105 slider_01.step = 0.1;
106 slider_01.value = betta / B; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
107 text_01.value = betta / B;
108
109 // настройка слайдеров и текстовых полей
110 slider_02.min = 0.1; slider_02.max = 1;
111 slider_02.step = 0.1;
112 slider_02.value = Temp0 / D; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
113 text_02.value = Temp0 / D;
114
115 // график
116 var vGraph1 = new TM_graph( // определить график
117 "#vGraph1", // на html-элементе #vGraph
118 20000, // сколько шагов по оси "x" отображается
119 0, 1,0.1); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
120 // график
121 var vGraph2 = new TM_graph( // определить график
122 "#vGraph2", // на html-элементе #vGraph
123 20000, // сколько шагов по оси "x" отображается
124 0, 19000,1000); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
125
126 // Работа с массивом
127
128 var balls = []; // массив шаров
129 var addNewBall = function(x, y, check) {
130 // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
131 if (check) {
132 if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
133 for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
134 var rx = balls[i].x - x;
135 var ry = balls[i].y - y;
136 var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
137 if (rLen2 < 4 * r2) return null;
138 }
139 }
140
141 var b = [];
142
143 b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара
144 b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар
145 b.vx = (3 * (1 - 2 * Math.random())); b.vy = (3 * (1 - 2 * Math.random())); // скорость
146
147 // balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива
148 balls.push(b);
149 return b;
150 };
151
152 this.setMy = function() {
153 balls = [];
154 for (var j = 0; j < Ny; j++)
155 for (var i = 0; i < Ny; i++)
156 addNewBall(w*j/Ny + r, h*i/Ny + r , true); // задаем 50x50
157 document.getElementById('ballsNum').innerHTML = balls.length;
158 vGraph1.vArray = new Array();
159 vGraph2.vArray = new Array();
160 steps = 0;
161 G1 = 0;
162 G2 = 0;
163 }
164
165 // Основной цикл программы
166
167 function control() {
168 physics();
169 draw();
170 }
171
172 // Расчетная часть программы
173
174 function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени
175 for (var s = 1; s <= spf; s++) {
176
177 L = 0;
178
179 // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
180 // for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
181 // balls[i0].vx += - B * balls[i0].vx*dt;
182 // balls[i0].vy += -B * balls[i0].vy*dt;
183 // }
184 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
185 Temp = 1/2 * (balls[i0].vx * balls[i0].vx + balls[i0].vy * balls[i0].vy) / Ny;
186 var stat = Math.sqrt(Temp0/Temp);
187 balls[i0].vx*=stat;
188 balls[i0].vy*=stat;
189 }
190
191 for (var i = 0; i < balls.length; i++)
192 {
193 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
194 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
195 var b = balls[i];
196
197 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
198 var b2 = balls[j];
199 var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)
200 var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами
201 if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания
202 var rLen = (Math.sqrt(r2));
203
204 // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
205 if (r2 < K2a2) {
206 if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0
207 rx = rx / rLen * Ka;
208 ry = ry / rLen * Ka;
209 }
210 r2 = K2a2;
211 rLen = Ka; // корень K2a2
212 }
213 // сила взаимодействия
214 var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___
215 var s8 = s4 * s4;
216 var F = LJCoeff * s8 * s2 * ((aCut - rLen)/(aCut - a)); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
217
218 var vx21 = b.vx - b2.vx; var vy21 = b.vy - b2.vy; // вектор смотрит на первый шар (b)
219 var ex = rx / rLen; var ey = ry / rLen;
220 var v = vx21 * ex + vy21 * ey;
221 F -= betta * ((aCut - rLen)/(aCut - a)) * v * (1/rLen);
222
223 // суммируем силы
224 var Fx = F * rx*dt; var Fy = F * ry*dt;
225
226 b.vx += Fx; b.vy += Fy;
227 b2.vx -= Fx; b2.vy -= Fy;
228
229 G2 += b.vx * b2.vx + b.vy * b2.vy;
230 G1 += 1;
231
232 }
233
234 if (b.y + r > h) { b.vy += (-Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy)*dt; }
235 if (b.y - r < 0) { b.vy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
236 if (b.x + r > w) { b.vx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
237 if (b.x - r < 0) { b.vx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
238
239 }
240 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
241 balls[i0].x += dt * balls[i0].vx;
242 balls[i0].y += dt * balls[i0].vy;
243 L += Math.abs((balls[i0].x - w/2) * balls[i0].vy) + Math.abs((balls[i0].y - h/2) * balls[i0].vx);
244 }
245
246 G = G2 / G1 / 2/ Temp0/Ny;
247
248 steps++;
249 if (steps % 200 == 0) {
250 vGraph1.graphIter(steps, G);
251 vGraph2.graphIter(steps, L);
252 }
253 }
254 }
255
256 // Рисование
257 function draw() {
258 context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale); // очистить экран
259 for (var i = 0; i < balls.length; i++){
260 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
261 if (grad) {
262 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
263 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
264 gradient.addColorStop(0, "#0000bb");
265 gradient.addColorStop(1, "#44ddff");
266 context.fillStyle = gradient;
267 }
268
269 context.beginPath();
270 context.arc(xS, yS, r*scale, 0, 2 * Math.PI, false);
271 context.closePath();
272 context.fill();
273 }
274 }
275
276 // Запуск системы
277 this.newSystem();
278 /*for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) { // задаем частицам случайные скорости
279 balls[i0].vx = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
280 balls[i0].vy = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
281 }*/
282 if(!window.requestAnimationFrame){
283 window.requestAnimationFrame = (function(){
284 return window.webkitRequestAnimationFrame
285 || window.mozRequestAnimationFrame
286 || window.oRequestAnimationFrame
287 || window.msRequestAnimationFrame
288 || function(callback, element){window.setTimeout(callback, 1000 / fps);
289 };
290 })();
291 }
292 //setInterval(control, 1000 / fps);
293
294 function animate(){
295 requestAnimationFrame(animate);
296 control();
297 }
298 animate();
299 // след. функция обновляет информацию о количестве частиц на поле
300 //setInterval(function(){document.getElementById('ballsNum').innerHTML = balls.length;}, 1000 / 20);
301
302 }
Анализ
С помощью графика можно наблюдать за зависимостью корреляции скоростей поведением кинетического моменты системы от входных параметров (вязкость, температура, кол-во частиц).
Уравнение для корреляции скоростей :
Например, для начальной конфигурации на 60 000 шаге по времени будет наблюдаться график 1.
А для измененных входных параметров график 2 и 3.
Уравнение для кинетического момента системы :
Ссылки
- Vitaly A. Kuzkin, Anton M. Krivtsov. Interscale energy transport and velocity correlations in thermostated dissipative soft disc system.
