Моделирование падения сложенной цепочки

Курсовой проект по Введению в механику дискретных сред

Исполнитель: Свередюк Евгений

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

Постановка задачи

Задача о сложенной вдвое цепочки. Цепочка состоит из частиц, соединённых линейными пружинками в 2D. Цепочка находится в поле силы тяжести, один из концов закреплен, второй свобооден. Требутся исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени.

Математическая модель

Закон движения:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\ \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n [/math]

где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно, а [math] \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\ [/math] - сила тяжести.

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Интегрирование по времени производится явной схемой интегрирования методом Верле:

[math] \begin{cases} V_{i+1} = V_i+\frac{F_i}{m}\Delta{t}\\ X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t} \end{cases} [/math]