Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: Введение
Данное пособие является логическим продолжением темы пособия "Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов" (Krivtsov 2009 I), в котором рассматриваются модели описания упругих свойств кристаллических твердых тел на основе их атомистического представления. В данном случае эти модели применяются к описанию ряда конкретных кристаллов, для которых на основе экспериментальных значений макроскопических упругих характеристик определяются параметры межатомного взаимодействия, а также рассматриваются простейшие модели для описания тепловых свойств кристаллов.
Интерес к кристаллическим телам вызван несколькими причинами. С одной стороны, идеальный кристалл - удобная математическая модель для определения связи между параметрами межатомного взаимодействия и макроскопическими характеристиками твердых тел. Это дает возможность перекинуть мостик между микро- и макромиром, в котором так нуждается современная наука. С другой стороны, в связи с развитием нанотехнологий возникла необходимость определять механические свойства объектов, размеры которых сопоставимы с межатомными расстояниями, а следовательно, потребовалось явно учитывать особенности их атомарной структуры. Многие наноструктуры или являются идеальными кристаллами, или содержат значительные монокристаллические участки, поэтому развитие математического аппарата и механических моделей для описания деформирования кристаллических твердых тел необходимо для правильного описания и эксплуатации объектов нанометрового масштабного уровня. Кроме того, возможность связывать микро- и макропараметры необходима для постановки задач компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения методом частиц (Krivtsov 2007), так как в основе этого метода лежит представление твердого тела с помощью различных упаковок частиц, из которых монокристаллические являются наиболее распространенными. Ну и наконец, кристаллы интересны сами по себе как объект, широко используемый в самых разнообразных областях человеческой деятельности.
Необходимые сведения о кристаллических телах представлены в пособии (Krivtsov 2009 I), здесь мы кратко остановимся на основных понятиях, а также отметим особенности рассматриваемых кристаллических тел. Исследование коснется исключительно одноэлементных кристаллов, т. е. кристаллов, состоящих из атомов одного химического элемента. Хотя все атомы внутри рассматриваемых кристаллов одинаковы, но их положение по отношению к ближайшим соседям по кристаллической решетке может различаться. На основании этого выделяют простые и сложные кристаллические решетки. Простой называют решетку, совпадающую при параллельном переносе на вектор, соединяющий любые два ее узла. Сложная решетка состоит из нескольких вставленных друг в друга простых решеток. Мы ограничимся рассмотрением только простых решеток и сложных двухатомных решеток (т. е. состоящих из двух подрешеток). Отметим, что несмотря на то, что решетки называются двухатомными, входящие в них атомы различаются исключительно геометрией окружения, сами атомы внутри кристалла идентичны и соответствуют одному химическому элементу. Математическое описание деформирования двухатомных решеток требует дополнительно к обычной макроскопической деформации учета деформации, связанной со сдвигом решеток друг относительно друга.
Взаимодействие между атомами описывается в рамках классической механики, используются три основные модели: парное силовое, парное моментное и многочастичное взаимодействия. Первая модель - наиболее простая, в ней атомы взаимодействуют посредством парных центральных сил, т. е. сил, направленных вдоль прямой, соединяющей центры атомов. Эта модель лучше подходит для описания плотноупакованных структур (в частности, для ряда металлов) и сталкивается с серьезными проблемами при описании кристаллов с низкой плотностью упаковки (таких, как графен или алмаз). Для решения этих проблем используются две другие модели. Моментная модель основывается на положении, что взаимодействие между атомами остается парным, но осуществляется посредством сил и моментов. В этом случае силы взаимодействия перестают быть центральными, у них, наряду с продольной составляющей, появляется поперечная, которая, в частности, позволяет стабилизировать структуры с низкой плотностью упаковки. При использовании ряда упрощающих предположений, моментной модели межатомного взаимодействия можно поставить в соответствие безмоментную модель упругого тела на макроуровне. Третья модель (многочастичная), учитывает коллективное (непарное) взаимодействие атомов. В пособии рассматривается вариант, при котором взаимодействие определяется относительным положением трех частиц - трехчастичное взаимодействие. Это эквивалентно тому, что взаимодействие определяется расстоянием между парами частиц и углами между связями. Для многочастичного взаимодействия, так же как и для парного моментного, межатомные силы нецентральны, что позволяет использовать его для описания неплотно упакованных кристаллов. Вообще, для многих частных случаев парное моментное и многочастичное взаимодействия оказываются эквивалентными.
Пособие состоит из двух частей и приложений. Первая часть посвящена упругим свойствам идеальных кристаллов; вторая - тепловым свойствам как идеальных кристаллов, так и кристаллов, содержащих дефекты; в приложениях даны краткие сведения о тензорных величинах и тензоре жесткости твердого тела.
В первой части рассматриваются парное силовое описание для ОЦК (объемо-центрированных) и ГПУ (гексагональных плотноупакованных) кристаллов, многочастичное описание ГЦК (гранецентрированных) кристаллов и кристаллов графена, моментное описание кристаллов со структурой графена и алмаза. Из перечисленных кристаллических решеток ОЦК и ГЦК - простые, остальные - сложные двухатомные. В качестве кристаллов с ОЦК, ГЦК и ГПУ решетками рассмотрены различные металлы, в качестве кристаллов с решеткой алмаза - алмаз, кремний и германий. Графен (монослой графита), как и алмаз, состоит из атомов углерода, но он единственный может рассматриваться как двумерный кристалл, представляющий собой как кристалл, так и наноструктуру. Для всех перечисленных кристаллов в пособии определяются параметры атомистической модели на основе известных экспериментальных значений упругих характеристик, а затем данная модель верифицируется по ее совпадению с другими известными свойствами кристаллов. Главный акцент делается на построение моделей, имеющих минимальное число параметров и обладающих, вследствие этого, большей предсказательной силой. Важным критерием отбора модели является ее удовлетворение условиям устойчивости. Однако отметим, что возможность проявления неустойчивости может быть как недостатком модели, так и ее достоинством, поскольку именно неустойчивость структуры - это механизм, приводящий к возникновению сруктурных переходов, реально проявляющихся для многих твердых тел. Эти вопросы также рассматриваются в пособии.
Во второй части исследуются тепловые свойства кристаллов с простой решеткой при парном силовом взаимодействии. Рассматривается получение уравнений состояния для идеальных кристаллов; изучается распространение тепла в идеальных кристаллах и кристаллах с дефектами. Все перечисленные выше модели аналитические, численное моделирование методом молекулярной динамики используется только в последней главе при изучении процесса теплопроводности.
Данное пособие - результат работы коллектива авторов, являющихся сотрудниками кафедры "Теоретическая механика" Санкт-Петербургского политехнического университета и лаборатории "Дискретные модели механики" Института проблем машиноведения Российской академии наук. Личное участие авторов: И. Е. Беринский (главы 4-5), Н. Г. Двас (глава 1), А. М. Кривцов (введение, главы 1-8, приложения, заключение), А. М. Кударова (глава 4), В. А. Кузькин (глава 7), А. А. Ле-Захаров (глава 8), О. С. Лобода (глава 6), И. И. Нейгебауэр (глава 3), Е. А. Подольская (глава 2).
Основополагающими по динамике кристаллической решетки считаются работы М. Борна и др. (Born). В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла на основе развитого Борном метода длинных волн. Впоследствии механика кристаллических решеток исследовалась многими авторами (Kosevich 1972, Kosevich 1988, Krivtsov 2007, Kunin 1975, Leibfrid 1963) и др.
В пособии используется язык прямого тензорного исчисления (Dimitrienko 2001, Zhilin 2001, Kochin 1961, Lagalli 1936). В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье (Lurie 1970, Lurie) и П. А. Жилина (Zhilin 2001, Zhilin_pos). Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики деформируемого твердого тела отражена в монографии В. А. Пальмова (Palmov 1976). Краткая информация об обозначениях и использовании тензорных величин дана в приложении A.
Описание механики деформируемого твердого тела опирается на работы П. А. Жилина, А. И. Лурье, В. А. Пальмова (Zhilin_pos, Lurie, Palmov 1976); описание деформирования твердых тел с микроструктурой - на монографию (Krivtsov 2007) и учебное пособие (Krivtsov 2009 I). Краткая информация о тензоре жесткости деформируемого твердого тела дана в приложении B.
За неизменную научную поддержку и ценные советы авторы благодарны Е. А. Ивановой, Д. А. Индейцеву, Н. Ф. Морозову и В. А. Пальмову. Ряд исследований, отраженных в пособии, проводился при поддержке РФФИ (грант 08-01-00865а) и программы фундаментальных исследований Президиума РАН N 14.
