Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: Введение
Классическая механика изучает движение материальных тел в пространстве. Понятие материального тела является неопределяемым, однако в зависимости от задачи могут использоваться более или менее сложные модели материальных тел, допускающие относительно строгое математическое определение. Перечислим такие модели в порядке их усложнения: материальная точка, абсолютно твердое тело, твердое деформируемое тело, твердое тело с микроструктурой. Если первые три модели широко представлены в учебной литературе, то четвертая - чаще используется в научных работах и относительно редко рассматривается в учебниках по механике. Однако эта модель имеет давнюю историю, более того, именно она, точнее ее частный случай - идеальный монокристалл, использовался для получения и обоснования континуальной модели деформируемого твердого тела. В большей степени твердое тело с микроструктурой рассматривается в учебниках по физике твердого тела, но необходимость описывать механические процессы в подобных телах требует детального рассмотрения этой модели в учебниках по механике. Частичному восполнению этого пробела и посвящено данное учебное пособие.
Простейшей моделью твердого тела с микроструктурой является идеальный монокристалл. В силу его регулярности многие соотношения, связывающие параметры микроструктуры с макроскопическими параметрами деформирования, удается получить аналитически. С одной стороны, подобные аналитические соотношения представляют самостоятельный интерес для теоретического анализа деформирования кристаллических твердых тел. С другой стороны, в связи с развитием нанотехнологий возникла необходимость определять механические свойства объектов, размеры которых сопоставимы с межатомными расстояниями, а следовательно, потребовалось явно учитывать особенности их атомарной структуры. Многие наноструктуры или являются идеальными кристаллами, или содержат значительные монокристаллические участки, поэтому развитие математического аппарата и механических моделей для описания деформирования кристаллических твердых тел необходимо для правильного описания и эксплуатации объектов нанометрового масштабного уровня. И, наконец, возможность связывать микро- и макропараметры необходима для постановки задач компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения методом частиц (Krivtsov 2007), так как в основе этого метода лежит представление твердого тела с помощью различных упаковок частиц, из которых монокристаллические являются наиболее распространенными.
В пособии взаимодействие на микроуровне описывается в рамках классической механики (без учета квантово-механических эффектов), что оказывается достаточным для изучения упругого деформирования большинства кристаллических твердых тел. Однако даже чисто классическое описание взаимодействия оказывается весьма непростым. Связано это прежде всего с тем, что для ряда кристаллов простейшая классическая модель (далее будем называть ее силовой), где атомы представляются материальными точками, связанными парным силовым взаимодействием, оказывается недостаточной. Это, прежде всего, относится к ковалентным кристаллам. Однако именно ковалентные связи характерны для многих наноструктур, таких как графен, фуллерены, углеродные нанотрубки, органические молекулы и т.д. В пособии рассматривается два подхода к решению этой проблемы. Первый подход состоит в использовании многочастичного взаимодействия - потенциалы зависят от относительного положения нескольких частиц (атомов). Второй подход состоит в учете парного моментного взаимодействия - потенциалы зависят от относительных положений и поворотов двух взаимодействующих частиц. И тот, и другой поход приводят к тому, что силы взаимодействия между атомами перестают быть центральными: наряду с усилием вдоль связи появляется поперечное усилие. Это позволяет учесть направленность связей в ковалентных структурах.
Одна из основных целей данного пособия - сравнительный анализ трех моделей: парной силовой, парной моментной и многочастичной; получение для них формул, связывающих параметры микроструктуры с макроскопическими характеристиками упругости кристаллов. Для многочастичной модели будет рассмотрен только ее простейший вариант, при котором взаимодействие определяется относительным положением трех частиц - трехчастичное взаимодействие. Это эквивалентно тому, что взаимодействие определяется расстоянием между парами частиц и углами между связями.
В равновесии расположение атомов монокристалла характеризуется трансляционной симметрией, т. е. они образуют идеальную кристаллическую решетку. Кристаллические решетки принято делить на простые и сложные. В простой решетке все атомы одинаковы и находятся в одинаковом положении. Сложная решетка может содержать как различные атомы, так и одинаковые атомы, но имеющие различное геометрическое положение относительно соседних атомов. Мы будем рассматривать только второй случай, которому соответствуют кристаллы, сформированные из одного химического элемента, хотя многие результаты, практически без изменений, могут быть перенесены для двух элементов. Сложная решетка всегда состоит из нескольких простых. В пособии рассматриваются простые решетки (или одноатомные) и сложные двухатомные (т.е. состоящие из двух подрешеток). Двухатомными решетками обладают, в частности, углеродные кристаллы, такие, как графен, графит, алмаз. Рассмотрение двухатомных решеток позволяет существенно упростить математический аппарат, требуемый для описания сложных решеток. Получение тензора жесткости для произвольных (многоатомных) сложных решеток описывается в монографии (Krivtsov 2007) для силового взаимодействия и в работе (Ivanova_07_PMM) для моментного взаимодействия.
Пособие состоит из трех частей. Первая часть вводная; вторая посвящена кристаллам, имеющим простую (одноатомную) решетку; третья - сложную (двухатомную) решетку.
Для характеристик упругости будут получены общие формулы, справедливые для пространства размерности 1,2,3. В качестве примеров будут рассматриваться двухмерные решетки: треугольная, квадратная, шестиугольная (решетка графена); трехмерные решетки: кубическая, ОЦК (объемоцентрированная кубическая), ГЦК (гранецентрированная кубическая), решетка алмаза. Графен (монослой графита) особенно интересен, так как представляет собой, как недавно было показано (Meyer 07, Novoselov 04), реально существующий практически двухмерный монокристалл. Поэтому он представляет собой как монокристалл, так и наноструктуру. Кроме того, графен является основным структурным элементом для многих углеродных наноструктур, таких, как фуллерены и нанотрубки. В основном будут рассматриваться монокристаллы и их упругие характеристики, но также будет использоваться осреднение тензора жесткости, позволяющее приближенно описывать деформирование поликристаллических материалов.
Рассматривается линейное упругое деформирование системы. Каждая частица считается взаимодействующей лишь с ограниченным числом соседей - это позволяет при переходе к макроскопическому масштабному уровню получить локальную теорию. Для получения характеристик упругости используется энергетический подход - связь микро- и макропараметров получается из сравнения выражений для энергии деформирования. Данный подход позволяет наиболее просто получить требуемые соотношения, особенно для моментного и многочастичного взаимодействий. Подходы, позволяющие выводить из микроскопических представлений не только упругие характеристики, но и полную систему уравнений динамики сплошной среды, излагаются в монографии (Krivtsov 2007) для силового взаимодействия и в работах (Ivanova_03_Pos, Ivanova_07_PMM) для моментного взаимодействия.
Рассматриваются только идеальные бесконечные кристаллы. Влияние конечности кристалла на его упругие характеристики, что особенно важно для наноструктур, исследовано в работах (Ivanova_03_DAN, Krivtsov 02 FTT, Loboda 05 MTT).
Основополагающими по динамике кристаллической решетки считаются работы М. Борна и др. (Born 1959). В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла на основе развитого Борном метода длинных волн. Впоследствии механика кристаллических решеток исследовалась многими авторами (Kosevich 1972, Kosevich 1988, Krivtsov 2007, Kunin 1975, Leibfrid 1963).
Используемое в пособии описание механики деформируемого твердого тела опирается на работы П. А. Жилина, А. И. Лурье, В. А. Пальмова (Zhilin_2003_pos, Lurie 1980, Palmov 1976). Построение моментной модели кристалла основывается на идеях П. А. Жилина (Zhilin_2003_pos, Zhilin_2006_shells) и работах (Ivanova_03_MTT, Ivanova_03_Pos, Ivanova_07_PMM); построение трехчастичной модели двухатомной кристаллической решетки - на результатах работы (Berinskiy 08).
Автор многим обязан своему Учителю - Павлу Андреевичу Жилину, под влиянием которого формировалось научное мировоззрение автора.
За неизменную научную поддержку и ценные советы автор благодарен Е. А. Ивановой, Д. А. Индейцеву, Н. Ф. Морозову и В. А. Пальмову. Автор благодарен А.И. Боровкову и Р.В. Гольдштейну за полезные обсуждения. Автор благодарен И. Е. Беринскому, Н. Г. Двасу, А. М. Кударовой, В. А. Кузькину, А. А. Ле-Захарову, О. С. Лобода, И. И. Нейгебауэр и Е. А. Подольской, совместная работа с которыми способствовала появлению этой книги.
Ряд материалов, приведенных в пособии, разработан при поддержке РФФИ (гранты 08-01-00865-а, 09-01-12096-офи-м).
