Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Еремеева Наталья
Группа: 5030103/00101
Семестр: осень 2023
Постановка задачи
Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке.
Хлыст состоит из n частиц и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.
Математическая модель
Начальные условия:
[math]
\underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
[/math]
Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:
[math]
m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}, \\
[/math] где [math] \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно; [math] m_ig\underline{j}\\ [/math] - сила тяжести, действующая на [math]i[/math]-ую частицу;
Сила упругости для пружины, соединяющей [math]i[/math]-ую и [math](i+1)[/math]-ую частицы:
[math]
\underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})c \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
[/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.
Будем работать в декартовой системе координат: [math]
\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j} \\
\underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \\
[/math]
Для хорошей сходимости задач механики дискретных сред в задачах необходимо привести физические величины к безразмерным:
[math]
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};
[/math]
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
