Моделирование теплового потока в дискретной среде методами разрушения

Дипломная работа

Исполнитель: Колбасов Алексей

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

На макроскопическом уровне распространение тепла в большинстве материалов описывается законом Фурье, согласно которому тепловой поток пропорционален градиенту температуры. Являясь удобной математической моделью, закон Фурье приводит к ряду физических парадоксов, таких, как мгновенное распространение тепла. Заметные отклонения от закона Фурье наблюдаются на малых временных и пространственных масштабах. Кроме того известно, что в простейших дискретных системах, таких как одномерный гармонический кристалл (цепочка частиц, связанных линейными пружинами) распространение тепла не подчиняется закону Фурье. В настоящее время вопрос о распространения тепла в идеальных кристаллических системах остается открытым. Вместе с тем, данный вопрос приобретает особую актуальность, так как с развитием нанотехнологий расширяется возможность применения идеальных бездефектных кристаллов и их уникальных теплопроводящих свойств. Кроме того, рациональное описание процессов теплопереноса необходимо для замыкания уравнений механики дискретных сред и приложения их к описанию термомеханики твердых тел на наномасштабном уровне.

Математическая модель

[math] m \ddot{U_n} = c(U_{n+1}-2U_{n}+U_{n-1}) + \sum_{i=1}^{N} \frac{12 D_i}{a_i}( (\frac{a_i}{r})^{13}-(\frac{a_i}{r}^7)) [/math]

С начальными условиями

[math] u_i^0(0) = 0, v_i^0(0) = \rho_i \sqrt{(A+B \sin(\lambda kx))} [/math]

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\ \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n [/math]

где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{F}_{g} = -mg\underline{k} \\ [/math] - сила тяжести;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Обезразмеренное уравнение будет иметь вид:

[math] \underline{\ddot{r}}_i(t)= \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - \underline{k}\\ [/math]

Интегрирование по времени производится неявной схемой интегрирования.

Исходный код программы

Исходный код программы представлен где-то там