Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Грешников Павел
Группа: 5030103/80101
Семестр: осень 2021
Постановка задачи
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
Математическая модель
[math]
m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
\underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
[/math]
где
[math]
\underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
[/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;
[math]
\underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
[/math] - силы демпфирования пружины действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;
[math]
\underline{P}
[/math] - давление создаваемое газом;
[math]
\underline{F}_{Wall}\\
[/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
[math]
\underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
[/math], где [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины.
Сила демпфирования:
[math]
\underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
[/math], где [math]k_D[/math] - коэффициент демпфирования пружины.
Давление рассчитывается по следующей формуле:
[math]P = k(\frac{V_0}{V} - 1)[/math]
Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
[math]\begin{align}
\mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
&= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
\end{align}[/math]
Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
[math]
U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
[/math]
Реализация модели
Визуализацию и исходный код: https://github.com/igorlaryush/discrete_mechanics_course_project
