"Одномерная линейная цепочка и частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса"

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Кравченко Ирина

Группа: 3630103/60101

Семестр: осень 2019

Постановка задачи

1) Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения одномерной линейной цепочки (Верле, Рунге-Кутта). Реализовать фиксированные, свободные и периодические граничные условия.

2) Рассмотреть движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: численно определить скорость диссоциации.

Первая задача

Первая задача: решение

Уравнение движения:

[math] \dot{v} = w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1}) [/math]
[math] \dot{x} = v [/math]

Первая задача: метод Верле

[math] v_{i+1} = v_i + w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1})\Delta t [/math]
[math] x_{i+1} = x_i + v_{i+1}\Delta t [/math]

Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка

[math] v_{i+1} = v_i + \frac {g_1 + 2g_2+2g_3+g_4}{6}[/math]
[math] x_{i+1} = x_i + \frac {k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}[/math]

Где

[math] g_1(i,j) = h F(u_{i,j - 1}, u_{i,j}, u_{i,j + 1})[/math]
[math] g_2(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_1_{i,j - 1}}{2}, u_{i,j} + \frac {g_1_{i,j}}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_1_{i,j + 1}}{2})[/math]
[math] g_3(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_2_{i,j - 1}}{2}, u_{i,j} + \frac {g_2_{i,j}}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_2_{i,j + 1}}{2})[/math]
[math] g_4(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + g_3_{i,j - 1}, u_{i,j} + g_3_{i,j}, u_{i,j + 1} + g_3_{i,j + 1})[/math]

Для функции х:

kx1[i]:=h*(-c*y[i]-b*x[i]);

kx2[i]:=h*(-c*y[i]-b*(x[i]+kx1[i]/2));

kx3[i]:=h*(-c*y[i]-b*(x[i]+kx2[i]/2));

kx4[i]:=h*(-c*y[i]-b*(x[i]+kx3[i]));

Для функции y:

ky1[i]:=h*x[i];

ky2[i]:=h*(x[i]+ky1[i]/2);

ky3[i]:=h*(x[i]+ky2[i]/2);

ky4[i]:=h*(x[i]+ky3[i]);

Первая задача: граничные условия

Фиксированные граничные условия:

[math] v_{i+1,1} = 0[/math]

[math] v_{i+1,N} = 0[/math]

[math] x_{i+1,1} = 0[/math]

[math] x_{i+1,N} = 0[/math]

Свободные граничные условия:

[math] v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - x_{i,1})\Delta t[/math]

[math] v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - x_{i,N})\Delta t[/math]

Периодические граничные условия:

[math] v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - 2x_{i,1} + x_{i,N})\Delta t[/math]

[math] v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - 2x_{i,N} + x_{i,1})\Delta t[/math]

Первая задача: дополнительные данные

Коэффициент упругости: [math] c = 1.[/math]

Масса: [math] m = 1.[/math]

Полное время: [math] T = 1000.[/math]

Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1.

Первая задача: результат

Метод Верле с фиксированными границами:

Метод Верле со свободными границами:

Метод Верле с периодическими граничными условиями:

Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами:

Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами:

Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями:

Вторая задача

Вторая задача: решение

Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:

[math] v_{i+1} = v_i + F_{r}(x_i)\Delta t [/math]
[math] x_{i+1} = x_i + v_i \Delta t [/math]

Где

[math] F_{r}(x_i) = \frac{12D(-(\frac{a}{x})^{13} + (\frac{a}{x})^{7})}{a}[/math]