Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Введение

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями, для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, хотя, по всей видимости, он састовляет значительную часть массы протооблака.

2. Протооблако на рассматриваемом периоде эволюции не может быть однородным. Однороден, в какой-то мере только протопланетный диск вокруг Солнца.

3. Пока не понятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Вопросы устойчивости облака не рассматриваются. Оно мыслится, как вращающейся диск.

5. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Испарение пылинок в вакуум

Интенсивность испарения [г/(см[math]^2[/math] сек)] определяется формулой {\bf Ленгмюра}

[math]\nu=11.69\rho sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] где [math]\rho[/math]-Давление насыщенного пара данного вещества,Па. [math]\mu[/math]-Молекулярная масса вещества. [math]T[/math]-Температура, К.

Диффузия от точечного источника

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами сорта <<1>>, Теперь, пусть один какой--нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы сорта <<2>>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:

[math] \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) [/math]

, где [math]n_2(r,t) [/math] -концентрация частиц второго сорта на расстоянии r от излучающей частицы в некоторый момент времени t, [math] D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2})}[/math] - коэффициент диффузии ([math]\sigma[/math]- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для D можно спокойно принебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-[math]n_2(r)[/math]. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому [math] D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{n_{1}\sigma_{1}}[/math] , [math] \dot N [/math]-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [[math]1\backslash[/math] сек].

Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.

[math] -D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N [/math]

Проинтегрируем по r и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <<2>> распределена по пространству таким вот образом:

[math] n_2(r)^*=\frac{\dot N}{4\pi rD},r\gt 0....................[1] [/math]

Случай дискообразного протопланетного облака

Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса [math]r[/math]. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса [math]a[/math], где [math]a\lt r[/math] и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём [math]G[/math] на сфере радиуса [math]r[/math]. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой [1], где [math]r[/math] пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).

[math]L[/math]-расстояние от точки [math]G[/math] до точек правой полуокружности.

[math]\alpha[/math]-угол между радиус-вектором [math]r[/math] и радиусом [math]a[/math]

Смотри рисунок internal.

Легко сообразить для левой полуокружности:

[math]L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}[/math]

и

[math]L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }[/math][math]Вставьте сюда формулу[/math]

для правой.

Интегрирование по [math]L[/math] сводится к интегрированию по [math]\alpha[/math] от 0 до [math]\frac \pi 2[/math] для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.

[math]n_2(r)_{internal}=2\int_0^r da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G . Смотри рисунок external. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка [math]G[/math] <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а [math]a[/math] и [math]r[/math] поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать

[math]n_2(r)_{internal}=2\int_r^R da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет

[math]n_2(r)=n_2(r)_{external}+n_2(r)_{internal}=[/math]

[math]2\int_0^R da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

Значение концентрации пылинок

[math]n_1(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}[/math]

Согласно (Gradshteyn) и т.к. для любых [math]a\gt 0[/math] и [math]r\gt 0[/math] [math](a^2+r^2)^2\gt (2ra)^2[/math]

[math]\int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2-2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}[/math]

и

[math] \int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2+2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}[/math]

Значение интеграла [2] на пределах от 0 до [math]\frac \pi 2[/math] равно

[math]\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}[/math]

Значение интеграла [3] соответственно

[math]\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}[/math]

Перепишем для удобства [main]

[math] n_2(r)=2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot n_1(a) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right)= [/math]

[math] =2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot \sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}} \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right) [/math]

На самом деле

[math]D=D(r)=\frac{v(r)}{3\cdot n_1(r)\sigma_1}[/math]

Зависимостью [math]v[/math] от [math]r[/math] можно пренебречь, так как на самом деле [math]v[/math] зависит [math]T(r)[/math], а перепад температуры мы считаем пока незначительным.

[math] n_2(r)=6\int_0^R da \cdot \frac{\dot N \sigma}{4\pi v} \cdot \left(1-\frac{a^2}{R^2}\right) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right) [/math]

От модуля мы избавляться не будем (в основном, чтоб избежать неопределённостей при [math]a=r[/math]. Значение интеграла в этом случае определяется из нормировки, это константа, а нам сейчас интересен общий вид функции). Посчитаем значение интеграла с модулем. т.к.

[math]\arctg\left(\cfrac{a^2+r^2-2ra}{|r^2-a^2|}\right)+ \arctg \left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|r^2-a^2|}\right)=\frac{\pi}{2} [/math] И

[math]n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\int_0^r \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da[/math]

Посчитаем интеграл

[math]\int \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=signum(a-r)\cdot\left(-a+\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{a-r}{a+r}\right)[/math]

В приделах от 0 до [math]R[/math] это выражение будет равно:

[math]\int^R_{0} \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r}[/math]

Таким образом:

[math]n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\cdot\left(R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r} \right)[/math]

Далее интересно посмотреть на график полученной функции.

[math]n_2(r)\sim-\frac{R^2-r^2}{2rR^2}ln\frac{r+R}{r-R}[/math]

Обозначим [math]x=r/R[/math], Тогда

[math]n_2(r)\sim-\frac{1-x^2}{x}ln\frac{1+x}{1-x}[/math]

То, что получилось, можно увидеть на рисунке Gas Не стоит пугаться параболического вида этой функции. Интуитивно хочется видеть, что-то подобное гиперболы. Но на самом деле, если сравнить законы распределения пыли и газа, то можно увидеть некое сходство в графическом изображении функций, что косвенно доказывает верность результатов.

Уравнение равновесия.

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{m(r)v^2}{r}+\frac{dP}{dr} \frac{1}{\rho(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Испарение пылинок в вакуум

Интенсивность испарения [гр/см[math]^2[/math]сек] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 \rho \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math]

,где

[math]\rho[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

[math] \dot m =-4\pi r^3 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=-4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = -\frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда [math]t_{max}=-\frac{\rho r}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Ссылка на презентацию Медиа:Некоторые_замечания_по_модели_образования_системы_Земля-Луна_в.pptx