Переход к тепловому равновесию в гармонической ГЦК решетке

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Ляжков Сергей

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи

Рассмотреть поведение кинетической температуры при переходе к тепловому равновесию в бесконечной гармонической гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке при следующих начальных условиях:

1. Частицы имеют нулевые перемещения.
2. Частицы имеют случайные скорости.
3. Распределение температуры - однородное.
4. Кинетические температуры, соответствующие различным пространственным направлениям, не равны.

Вывод уравнений

Рассмотрим кристаллическую ГЦК решетку, состоящую из одинаковых частиц массой [math] m [/math], соединенных линейными пружинками жесткостью [math] c [/math]. Уравнения движения частицы с радиус-вектором [math] \textbf{r} [/math] имеют следующий вид:
[math] \ddot{\textbf{u}}(\textbf{r}) = \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha \textbf{u}(\textbf{r}+\textbf{n}_\alpha)[/math],
где [math] \textbf{u}(\textbf{r}) = (u_x, u_y, u_z)^\top [/math] - вектор-столбец, состоящий из компонент вектора перемещения частицы с радиус-вектором [math] \textbf{r} [/math], [math] \textbf{C}_\alpha [/math] - матрицы, коэффициенты которых определяют вклад частицы номер [math] \alpha [/math] в суммарную силу, действующую на частицу с радиус-вектором [math] \textbf{r} [/math].
Сделаем следующую подстановку в уравнение движения для получения дисперсионного соотношения [math] \omega [/math]:
[math] \textbf{u}(\textbf{r}) = e^{i(\omega t + \textbf{k} \cdot \textbf{r})} [/math],
где [math] \textbf{k} [/math] - волновой вектор, и получим динамическую матрицу [math] \textbf {D} [/math]:
[math] \textbf{D} = -\frac{1}{m} \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha e^{\textbf{k} \cdot \textbf{a}_\alpha}. \omega^2_j [/math] - собственные числа матрицы [math] \textbf{D} [/math]. С помощью них можно получить следующую формулу для кинетической температуры [math] T [/math]: [math] T = \frac{T_0}{2} + B_1 + B_2 + B_3, \quad B_j = \int_\textbf{k} (\textrm{cos} (2\omega_j t)) \textrm{d} \textbf{k} [/math].

Результаты

Вклады веток дисперсионного соотношения в колебания температуры:

Колебания кинетической температуры, связанные с выравниванием кинетической и потенциальной энергий:

Перераспределение кинетической температуры по пространственным направлениям:

Линии - аналитическое решения по формулам, представленным в нижеприведенной статье, точки - численное решение уравнения динамики решетки.

Текст статьи

Переход к тепловому равновесию в гармонической гранецентрированной кубической решетке

Неделя науки 2018

Данный проект был представлен на конференции "Неделя науки 2018".

Постер

См.также

Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019