Моделирование провисания троса под действием силы тяжести

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Логинов Александр

Группа: 10 (43604/1)

Семестр: осень 2017

Введение

Рис.1. Принцип определения местоположения

Данная задача о провисании троса возникла из судостроительной отрасли. При навигации судов при помощи системы динамического позиционирования необходимо знать местоположение судна (подробнее о системе ДП в этой и этой презентациях). Одним из датчиков, позволяющих определить относительную позицию судна, является taut wire. Конструкционно представляет собой кран-балку, установленную на судне, через которую перекинут трос, закрепленный на дне при помощи тяжелого груза. Измеряя угол отклонения троса у конца кран-балки от вертикали, система определяет смещение судна от заданной позиции. Отклонение формы троса от прямой оказывает сильное влияние на точность позиционирования.

Моделирование

Трос провисает под действием силы тяжести и течения. В данной модели учитывается только сила тяжести. Трос моделируется как набор грузов, связанных линейными и угловыми пружинами. Концы троса закреплены. Линейные пружины подчиняются закону Гука: [math]F = k \Delta l[/math], а угловые создают момент [math]M = C(\phi - \Pi).[/math] В результате уравнение движения приняло вид: [math]m_i\underline{\ddot{u}}_i = m_i \underline{g} + C(\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i} - L0\frac{\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}}{|\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}|}) + C(\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i} - L0\frac{\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}}{|\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}|}) + [/math]
[math] + \underline{k}\times\frac{\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}}{|\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}|}\frac{1}{|\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}|}C1(\mathrm{arccos}\, \frac{(\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i})(\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}||\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}|} - \Pi) + \underline{k}\times\frac{\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}}{|\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}|}\frac{1}{|\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}|}C1(\mathrm{arccos}\, \frac{(\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i})(\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1} - \underline{r}_{i}||\underline{r}_{i-1} - \underline{r}_{i}|} - \Pi),[/math]

где [math]C[/math] - жесткость линейной пружины, [math]C1[/math] - жесткость угловой пружины, [math]\underline{k}[/math] - единичный орт, направленный вдоль [math]OZ[/math](для задания перпендикулярной составляющей силы от угловых пружин), [math]L0[/math] - начальная длина линейной пружины, [math]\underline{r}_{i}[/math] - радус-вектор i-ой точечной массы.