Определение упругих модулей материала
Введение
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.
В данной работе рассматриваются два упругих модуля - коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Вычисление модулей упругости материала ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД).
Алгоритм компьютерного эксперимента
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
На первом этапе вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки (оси X). На этом этапе решается динамическая задача достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
где
– шаг интегрирования. Ускорение вычисляется через приложенную к частице силу. Второй этап представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на один атом.На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:
иначе
Здесь
– тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером . При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений по всем частицам. – объем ячейки периодичности (в двумерной постановке – площадь). – векторный коэффициент, равный , где – номер соседней частицы к частице с номером . – вектор относительного положения соседней частицы: , где – радиус-вектор частицы с номером , – радиус-вектор соседней частицы ( ). – энергия, приходящаяся на одну связь.
В трехмерном материале коэффициенты упругости
определяются через следующие выражения:
Третий этап представляет собой нахождение упругих модулей по тензорам напряжений и деформации.
Модули упругости выражаются по формулам: