Мещерский 48.19

Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать планетарный механизм.

Исполнитель: Исаева Сабина

Условие задачи 48.19: Концы однородного тяжелого стержня AB длины 2a и массы M скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.

Код программы

Текст программы на языке JavaScript:

Файл "Zad.js"

  1 function init()
  2   {
  3     scene = new THREE.Scene();  // создаем сцену
  4     camera = new THREE.PerspectiveCamera(45,window.innerWidth/window.innerHeight,0.1,1000);  // создаем камеру
  5 
  6     renderer = new THREE.WebGLRenderer();
  7     renderer.setClearColor(0XEEEEEE,1);
  8     renderer.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
  9     renderer.shadowMap.enabled=true;
 10 
 11     axes = new THREE.AxisHelper(20);  // создаем координатные оси
 12     scene.add(axes);
 13 
 14     control = new THREE.OrbitControls(camera,renderer.domElement);
 15 
 16     controls = new function()  // создаем переключатели, позволяющие изменять входные параметры
 17     {
 18       this.a = 1;
 19       this.w = 1;
 20       //this.m = 1;
 21       this.animate = false;
 22       this.reset  = function() {
 23         controls1.t = 0;
 24         controls1.fi = 0;
 25         controls1.q = Math.PI/6;
 26         controls1.v = 0;
 27         controls1.x = 0;
 28         ReDraw();
 29       }
 30     }
 31 
 32     controls1=new function()   // вывод полученных в ходе решения задачи значений
 33     {
 34       this.t = 0.0;
 35       this.q = Math.PI/6;
 36       this.v = 0;
 37       this.x = 0;
 38     }
 39 
 40     var gui = new dat.GUI();  // позволяем менять каждый из параметров в определенном диапазоне, в случае изменения вызываем функцию, перестраивающую выводимую на экран картинку
 41     gui.add(controls,'a', 1,4).onChange(controls.reset);
 42     gui.add(controls,'w',0,20).onChange(ReDraw);
 43     gui.add(controls, 'animate');
 44     gui.add(controls, 'reset');
 45     //gui.add(controls,'m',1,10).onChange(ReDraw);
 46     gui.add(controls1, 't').listen();
 47     gui.add(controls1, 'q').listen();
 48     gui.add(controls1, 'v').listen();
 49 
 50     ambientLight=new THREE.AmbientLight(0x000000);
 51     scene.add(ambientLight);
 52     document.getElementById("WebGL").appendChild(renderer.domElement);
 53     camera.position.x = 0;  // задаем местоположение камеры
 54     camera.position.y = 0;
 55     camera.position.z = 20;
 56     camera.lookAt(0,0,0);
 57     spotLight=new THREE.SpotLight(0xffffff);
 58     spotLight.position.set(90,45,90);
 59     scene.add(spotLight);
 60     stats = initStats();
 61     Draw();
 62     renderScene();
 63 
 64     window.addEventListener('resize',onResize,false);
 65   };
 66 
 67   function ReDraw()  // функция, перерисовывающая всю картинку
 68   {
 69     scene.remove(ramka);
 70     scene.remove(stick);
 71     scene.remove(cube1);
 72     scene.remove(cube2);
 73     Draw();
 74   }
 75 
 76   function Draw()
 77   {
 78     // рамка
 79     ramka = new THREE.Group();
 80     var ramkaMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0xffaaff, wireframe:false});
 81     var cyl1 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,20,10),ramkaMaterial);
 82     var cyl2 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,8,10),ramkaMaterial);
 83     cyl2.position.set(9.8*Math.cos(controls1.v),0,9.8*Math.sin(controls1.v));
 84     var cyl3 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,10,10),ramkaMaterial);
 85     cyl3.rotation.set(0,-controls1.v,Math.PI/2);
 86     cyl3.position.set(5*Math.cos(controls1.v),4,5*Math.sin(controls1.v));
 87     var cyl4 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,10,10),ramkaMaterial);
 88     cyl4.rotation.set(0,-controls1.v,Math.PI/2);
 89     cyl4.position.set(5*Math.cos(controls1.v),-4,5*Math.sin(controls1.v));
 90     ramka.add(cyl1);
 91     ramka.add(cyl2);
 92     ramka.add(cyl3);
 93     ramka.add(cyl4);
 94     scene.add(ramka);
 95     // палка
 96     stick = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,2*controls.a,10), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0xff0000}));
 97     stick.position.set(((controls.a)*Math.sin(controls1.q)+0.2+controls1.x)*Math.cos(controls1.v), (controls.a)*Math.cos(controls1.q)-4+0.2, ((controls.a)*Math.sin(controls1.q)+0.2+controls1.x)*Math.sin(controls1.v));
 98     stick.rotation.set(0,-controls1.v,controls1.q);
 99     scene.add(stick);
100 
101     // заделка
102     cubeGeometry = new THREE.CubeGeometry(4,1,4);
103     cubeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xcccccc});
104     cube1 = new THREE.Mesh(cubeGeometry,cubeMaterial);
105     cube1.position.set(0,10,0);
106     scene.add(cube1);
107     cube2 = new THREE.Mesh(cubeGeometry,cubeMaterial);
108     cube2.position.set(0,-10,0);
109     scene.add(cube2);
110 
111     renderer.render(scene,camera);
112   }
113 
114   function renderScene()
115   {
116     if (controls.animate)
117     {
118       controls1.t+=dt;
119       controls1.v += controls.w*dt;
120       if (controls1.q<=Math.PI/2) {controls1.q += (0.75*Math.cos(controls1.q)*Math.sin(controls1.q)*controls.w*controls.w+0.75*g/controls.a*Math.sin(controls1.q))*dt*dt}
121       else if ((controls.a)*Math.sin(controls1.q)+0.2+controls1.x<9.8-controls.a) {controls1.x += controls.w*((controls.a)*Math.sin(controls1.q)+0.2+controls1.x)*dt*dt/2}
122       ReDraw();
123     }
124     stats.update();
125     requestAnimationFrame(renderScene);
126     renderer.render(scene,camera);
127   };
128 
129   function initStats()
130   {
131     var stats=new Stats();
132     stats.setMode(0);
133     stats.domElement.style.position='0px';
134     stats.domElement.style.left='0px';
135     stats.domElement.style.top='0px';
136     document.getElementById("Stats-output").appendChild(stats.domElement);
137     return stats;
138   };
139 
140   function onResize()
141   {
142     camera.aspect=window.innerWidth/window.innerHeight;
143     camera.updateProjectionMatrix();
144     renderer.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
145   }
146 
147   window.onload = init;
148 }

Используемые библиотеки

• three.js
• stats.js
• dat.gui.js
• OrbitControls.js

Решение

В данной задаче у нас присутствует потенциальные и обожженные силы. Рассмотрим кинетическую энергию системы:

[math]T = T_в+T_п=\frac{1}{2}MV_с^{2}+\frac{1}{2}(I_x ω_x^{2}+I_y ω_y^{2}+I_z ω_z^{2}-2 I_xy ω_x ω_y-2 I_xz ω_x ω_z-2 I_yz ω_y ω_z[/math]

[math] ω_x=0, ω_y=0, ω_z=\dot V[/math]

[math]T = \frac{1}{2} M ((a sin(V) ω)^{2}+ (a \dot V)^{2}) + \frac{1}{2} \frac{1}{12} 2 a^{2} \dot V^{2} M=M \frac{3 a^{2} sin^{2}(V) ω^{2}+4 a^{2} \dot V^{2}}{6}[/math]

Запишем уравнение Лагранжа 2 рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot V}\right) - \frac{\partial T}{\partial V} = Q[/math]

Найдём отдельно:

[math]\frac{\partial T}{\partial\dot V} = \frac{4}{3} M a^{2} \dot V[/math]

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot V}\right) = \frac{4}{3} M a^{2} \ddot V[/math]

[math]\frac{\partial T}{\partial V} = M a^{2} sin(V) cos(V) ω^{2}[/math]

[math]Q = \frac{δA_V}{δV} = \frac{M g a sin(V)δV}{δV} = M g a sin(V)[/math]

Подставляем в уравнение Лагранжа:

[math]\frac{4}{3} M a^{2} \dot V - M a^{2} sin(V) cos(V) ω^{2} = M g a sin(V)[/math]

[math]\frac{4}{3} M a^{2} \dot V - M a^{2} sin(V) cos(V) ω^{2} - M g a sin(V) = 0[/math]

Уравнение движения:

[math]\frac{4}{3} M a^{2} \dot V - M a^{2} sin(V) cos(V) ω^{2} - M g a sin(V) = 0[/math]