Мещерский 48.39

Задача 48.39 из сборника задач Мещерского: составить дифференциальные уравнения малых колебаний и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Формулировка задачи

Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь.

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)[/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы [math]\varphi [/math] и [math]\alpha [/math]

Представим:

[math]T = T_1+T_2[/math], где [math]T_1[/math] - кинетическая энергия точки А, а [math]T_2[/math] - кинетическая энергия точки В

[math]T_1 = \frac{1}{2}m_1l^{2}\dot\alpha^{2}[/math] [math]T_2 = \frac{1}{2}m_2V^{2}[/math]

Где [math]V[/math] - абсолютная скорость точки В

[math]V = V_п+V_о[/math]

[math]V_п[/math] - переносная скорость, [math]V_о[/math] - относительная скорость.

Учтём, что

[math]V_п=l\dot α[/math],[math]V_о=l\dot\varphi[/math]

Тогда

[math]V^{2}=l^{2}\dot\alpha^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha)[/math]

[math]T=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))[/math]

Потенциальная энергия системы определяется силами тяжести точек А и В:

[math]П=-m_1gl\cos(\alpha)-m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)[/math]

В результате будем иметь

[math]L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))+m_1gl\cos(\alpha)+m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)[/math]

В случае малых колебаний:

[math](m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0[/math], [math]l\ddot\varphi+l\ddot\alpha+g\varphi=0[/math]