Два цилиндра (48.40)

Задача 48.40 из сборника задач Мещерского: составить уравнения движения двух цилиндров и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Формулировка задачи

Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны [math]\frac{1}{2}\ mr ^{2}[/math] и [math]MR^{2}[/math]. Составить уравнения движения системы.

Решение задачи

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)[/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы φ и ψ [math]\varphi [/math].

Представим:

[math]T = T_1+T_2[/math], где [math]T_1[/math] - кинетическая энергия цилиндра массы M, а [math]Т_2[/math] - цилиндра массы m.

Полый цилиндр массы M вращается вокруг неподвижной оси, следовательно:

[math]T_1 = \frac{1}{2}MR^{2}\dot ψ[/math]

Движение цилиндра массы m плоское.

[math]T_2 = \frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}I_2 ω^{2}[/math]

Где [math]V[/math] - скорость центра масс цилиндра массой m(точки O₁):

[math]V = \dot φ (R-r)[/math]